- •Дифференциальное исчисление функций нескольких переменных
- •§1. Метрические пространства. Пространство
- •§2. Понятие функции нескольких переменных
- •§3. Предел и непрерывность функции двух переменных
- •Понятие предела функции двух переменных
- •2. Повторные пределы
- •3. Непрерывность функции n переменных
- •§4. Частные производные и дифференцируемость функции нескольких переменных
- •Понятие частных производных
- •2. Дифференцируемость и дифференциал функции нескольких переменных
- •3. Выражение дифференциала через частные производные
- •4. Касательная плоскость и нормаль к поверхности
- •5. Геометрический смысл дифференциала
- •§5. Дифференцирование сложной функции
- •1. Дифференцирование сложной функции
- •2. Инвариантность формы дифференциала
- •§6. Производная по направлению. Градиент
- •1. Производная по направлению
- •2. Градиент
- •§7. Производные и дифференциалы высших порядков
- •1. Частные производные высших порядков
- •2. Дифференциалы высших порядков
- •3. Формула Тейлора для функции двух переменных
- •§8. Неявные функции
- •1. Неявные функции одной переменной
- •2. Уравнения касательной и нормали к кривой
- •3. Неявные функции нескольких переменных
- •4. Уравнения касательной плоскости и нормали к поверхности
- •§ 9. Экстремум функции двух переменных
- •1. Понятие экстремума, необходимое и достаточное условия
- •2. Экстремум неявно заданной функции
- •3. Нахождение наибольших и наименьших значений
- •§ 10. Экстремум функции нескольких переменных
- •1. Необходимые условия локального экстремума функции n переменных
- •2. Некоторые сведения о квадратичных формах
- •3. Достаточное условие локального экстремума функции n переменных
- •§ 11. Условный экстремум
2. Градиент
Пусть функция u=f(x,y,z) определена и дифференцируема на множестве G.
Определение. Градиентом функции u=f(x,y,z) в точке М0 называется вектор с координатами .
Обозначается или .
Итак, .
Если функция f дифференцируема на G, то в каждой точке МG определён вектор . В этом случае говорят, что градиент функции f образует векторное поле на G, и оно называется векторным полем градиентов.
Теорема. Если функция u=f(x,y,z) дифференцируема в точке М0, то производная по направлению l в точке М0 равна проекции градиента функции f в этой точке на направление l.
Доказательство.
Т.к. функция f дифференцируема в точке М0, то в этой точке существуют производная по направлению l и градиент, т.е. имеем
,
.
Через обозначим единичный вектор направления l: .
Тогда (скалярное произведение).
Т.к. , где - угол между векторами и , то, учитывая, что а , получим . Следовательно, .
Свойства градиента
1. Производная в данной точке М0 по направлению l имеет наибольшее значение, если направление l совпадает с направлением градиента. Это наибольшее значение
.
Доказательство.
.
Ясно, что имеет наибольшее значение, когда , т.е. когда φ=0. Это означает, что направление совпадает с направлением .
2. Производная по направлению вектора, перпендикулярного к вектору градиента, равна нулю (следует из доказательства теоремы).
3. В каждой точке М0 области определения функции градиент функции f направлен по нормали к поверхности уровня проходящей через эту точку.
4. ;
5. , где с=const;
6.
Свойства 4-6 следуют из определения градиента и правил дифференцирования.
§7. Производные и дифференциалы высших порядков
1. Частные производные высших порядков
Пусть функция z =f(x,y) задана на области G. Пусть на G существуют частные производные и . Они называются частными производными первого порядка функции f . Эти производные на G являются функциями от x и y: , . Они тоже могут иметь частные производные G. Частные производные этих функций φ и ψ называются частными производными второго порядка функции f:
,
,
,
.
Частные производные и взяты по различным переменным, они называются смешанными. Если частные производные второго порядка определены на G, то они сами являются функциями от x и y и могут иметь частные производные по этим переменным. Частные производные от частных производных второго порядка называются частными производными третьего порядка функции f и обозначаются:
(8 штук, 6 смешанных).
Аналогично определяются частные производные и более высоких порядков. Если известны частные производные (n-1)-го порядка, то частные производные от этих частных производных называются частными производными п-го порядка и обозначаются:
Т.о., частные производные высших порядков определяются индуктивно, т.е. последовательно, начиная от первой.
Частные производные и взяты по одним и тем же переменным, но в разном порядке. Они не обязательно равны!
Теорема 1. Пусть функция z =f(x,y) и ее частные производные определены в некоторой окрестности точки (х0;у0), и в этой точке и непрерывны. Тогда .
Доказательство.
Придадим значениям х0 и у0 приращения Δх и Δу так, чтобы точка (х0+Δх;у0+Δу) находилась в окрестности точки (х0;у0). Составим выражение
.
Чтобы легче запомнить, как строится выражение, рассмотрим прямоугольник АBСD с вершинами А(х0+Δх;у0+Δу), B(х0+Δх;у0), С(х0;у0), D(х0;у0+Δу). Тогда числитель равен алгебраической сумме значений функции f(x,y) в вершинах прямоугольника, причем значение в точке А берется со знаком «+», и при обходе прямоугольника по часовой стрелке знаки перед остальными слагаемыми чередуются.
Введем вспомогательную функцию
.
Здесь числитель равен разности значений функции f(x,y) в точках сторон АD и ВС с одинаковыми абсциссами. Тогда ω можно записать в виде:
=
.
По условию существует , значит, существует и
.
Т.к. функция φ(х) дифференцируема на отрезке [x0;x0+Δx], то она непрерывна на этом отрезке. Следовательно, к ней можно применить формулу Лагранжа:
=, где . (1)
Т.к. по условию существует и , то к функции , как к функции от у, на отрезке [у0;у0+Δу] можно тоже применить формулу Лагранжа:
, (2)
где . Тогда из (1) и (2) следует
, где . (3)
Теперь вместо функции φ(х) рассмотрим функцию
.
Тогда
=
.
Применим формулу Лагранжа к функции ψ(у)на отрезке [у0;у0+Δу]:
,
а затем к функции , как к функции от х, на отрезке [x0;x0+Δx]:
, где . (4)
Из соотношений (3), (4) следует
. (5)
Пусть . Тогда
, .
Т.к. по условию и непрерывны в точке (х0;у0), то
и
.
Тогда, переходя в равенстве (5) к пределу при , получим
.
Замечание. Утверждение, аналогичное теореме 1, может быть доказано и для смешанных производных любого порядка. Т.е. смешанные производные любого порядка при условии их непрерывности не зависят от порядка дифференцирования, например,
.
Теорема 2. Если смешанные производные n – го порядка, отличающиеся только порядком дифференцирования, непрерывны на области G, то они на этой области равны.