Работа 4.1. Составление вариационного ряда. Вычисление средней арифметической и коэффициента вариации

ОБЩИЕ ЗАМЕЧАНИЯ

Чтобы получить представление о размахе модификационной изменчивости изучаемого признака (например, числа колосков в колосе пшеницы), необходимо составить вариационный ряд. С этой целью в главном колосе каждого из 100 растений подсчитывают число колосков и получают варианты – возможные значения изучаемого признака, которые обозначают буквой Х:

20, 18, 17, 22, 19, 19, 20, 21, 20, 21, 18, 19, 17, 22, 21, 18, 18, 20, 19, 21, 21, 19, 20, 18, 21, 20, 19, 19, 17, 20, 22, 18, 21, 19, 18, 21, 20, 18, 19, 18, 20, 21, 21, 18, 19, 21, 18, 20, 22, 17, 19, 20, 19, 18, 21, 20, 20, 19, 17, 22, 19, 20, 18, 19, 19, 20, 20, 17, 19, 21, 20, 19, 20, 18, 22, 20, 19, 19, 20, 20, 20, 17, 19, 18, 21, 20, 19, 19, 19, 20, 17, 18, 22, 18, 20, 20, 19, 20, 19, 20.

Полученные варианты располагают в порядке их возрастания (или убывания). Так, в вышеприведенном примере число колосков в колосе варьирует от 17 до 22, и в возрастающем порядке они записаны в табл.7. Каждое значение признака встречается неодинаковое число раз. Число, указывающее, сколько раз повторяется каждое значение признака в данном вариационном ряде, называется частотой и обозначается буквой f.

Таким образом, вариационный ряд представляет собой такой ряд данных, в котором указаны значения варьирующего признака в порядке возрастания или убывания, а также соответствующие их частоты. Из представленных данных видно, что чаще всего встречаются варианты, находящиеся в середине ряда, реже – в начале и в конце ряда.

Таблица 7 - Два вариационных ряда, характеризующих озимую пшеницу сорта Боровичская по числу колосков в колосе и по длине колоса

Число колосков в колосе (варианты Х)	Число колосьев (частоты f)	Длина колоса в см (варианты Х)	Число колосьев (частоты f)
17	8	6,3-7,2	3
18	17	7,3-8,2	5
19	26	8,3-9,2	8
20	28	9,3-10,2	12
21	17	10,3-11,2	9
22	7	11,3-12,2	9
		12,3-13,2	2
		13,3-14,2	2

n=∑f=100 n=∑f=50

Имея вариационный ряд (например, число колосков в колосе), можно получить достаточно полную характеристику изучаемого признака. Для этого необходимо вычислить следующие статистические показатели: среднюю арифметическую, стандартное отклонение (или среднее квадратическое отклонение), коэффициент вариации, или изменчивости, ошибку средней арифметической.

Средняя арифметическая характеризует величину признака всей совокупности изучаемых растений и обозначается буквой х. Вычисляют среднюю арифметическую вариационного ряда по формуле:

∑ Х^.f

х = ----------- ;

n

где: х – средняя арифметическая,

f – частота встречаемости варианта,

Х – варианты,

∑ - знак суммы,

n – сумма частот, то есть общий объем выборки.

Для подсчетов следует воспользоваться табл 8. Таким образом, средняя арифметическая равна 19,44 колоска. Эта величина наиболее характерна для данной выборки растений.

Для характеристики вариационных рядов большое значение имеют также следующие средние величины: мода – Мо и медиана – Ме. Модальным называется класс, обладающий наибольшей частотой; значение его называется модой. В нашем примере модальным является класс со средним значением 20. Медианой называется значение варианты, находящейся посередине вариационного ряда, т.е. разделяющей его пополам. При четном числе классов, как в нашем примере, нужно сложить значение вариант двух центральных классов и сумму их разделить пополам. Таким образом, в нашем примере медиана соответствует значению 19,5.

В ряде случаев рассчитывают не среднюю арифметическую, а среднюю геометрическую по следующей формуле:

х_геом = ⁿ  х₁  х₂  х₃ … х_n = ⁿ  П_хi .

На практике вычисление производится с помощью логарифмов:

log x_геом =1/n · (log x₁ + log x₂ + log x₃ + …+ log x_n) .

По значению log x_геом затем определяется величина x_геом.

Основным критерием для применения средней геометрической является возрастание данного признака путем не арифметического прибавления к первоначальному значению какой-то величины, а умножением пропорционально степени (например, при изучении темпов роста организмов или популяции).

Таблица 8 - Вычисление средней арифметической, моды и медианы числа колосков в колосе озимой пшеницы сорта Боровичская

Число колосков в колосе (Х)	Число колосьев (f)	X·f	X-x	(X-x)2	(X-x)2·f
17	8	136	-2,4	5,76	46,08
18	17	306	-1,4	1,96	33,32
19	26	494	-0,4	0,16	4,16
20	28	560	0,5	0,36	10,08
21	14	294	1,6	2,56	35,84
22	7	154	2,6	6,76	47,32
	n=Σf=100	Σ=1944			Σ=176.80

∑ Хf 1944

х = --------- = ------- = 19,44; Мо = 20; Ме = 19,5.

n 100

Средняя арифметическая не отражает степени изменчивости признака у данной группы особей, сорта и т.д. Для характеристики изменчивости используют стандартное (среднее квадратическое) отклонение. Оно обозначается буквой σ; это число выражается в тех же единицах, что и средняя арифметическая. Стандартное отклонение вычисляем по формуле:

 (Х-х)^2.f 176,8

σ =  --------------- =  -------- =  1,787 = 1,34 (колоска).

n-1 99

Это означает, что каждый колос в среднем отличается от средней арифметической х на 1,34 колоска.

Стандартное отклонение иногда называют ошибкой отдельного варианта, так как, зная значение х и σ для данного вариационного ряда, можно определить, относится ли данная особь к этому ряду. Она может относиться к данному ряду, если ее отклонение от средней арифметической не превышает 3σ. В рассматриваемом примере х = 19,44; σ = 1,34, наибольшее значение варианта равно 22, наименьшее – 17. Отклонение составит 22-19,44=+2,56; 17-19,4=-2,44.

Так как отклонения наибольшего и наименьшего вариантов от средней арифметической не превышают 3σ, то есть 4,02, то все особи относятся к данному вариационному ряду. Следовательно, пределы модификационной изменчивости определяются значениями х3σ.

Для сравнения изменчивости разных признаков у особей одной выборки (например, у растений одного сорта) или изменчивости одного и того же признака у разных сортов, а также, чтобы иметь возможность судить о степени выровненности изучаемого материала, вычисляют коэффициент вариации (V):

σ

V = ---  100%

х

В нашем примере:

1,34

V = ------  100% = 6,9%

19,4

Чтобы сравнить размах изменчивости различных признаков у растений одного и того же сорта, следует вычислить стандартное отклонение (σ) и коэффициент вариации (V) для этих признаков. Например, для трех признаков растений пшеницы х, σ, V имеют следующие значения:

х σ V,%

Масса зерна с одного растения (г) 3,2 1,4 43,8

Число зерен в главном колосе 41,0 8,0 19,5

Число колосков в главном колосе 19,4 1,34 6,9

Меньше всего варьирует число колосков в главном колосе (V=6,9%). Наиболее изменчивый признак – масса зерна с одного растения (V=43,8%). Следовательно, число колосков в колосе мало изменяется под воздействием внешних условий; масса же зерна с растения и число семян в главном колосе в большей степени зависят от условий произрастания и подвержены сильной изменчивости.

Ошибка средней арифметической обозначается S_х. Она показывает, какую допустили ошибку, считая, что средняя арифметическая выборки равна средней арифметической генеральной совокупности. Ошибку средней арифметической вычисляют по формуле:

σ

S_х = -------- .

n

В нашем примере: 1,34

S_х = -------- = 0,13 (колоска).

100

После вычисления ошибки средней арифметической можем сказать, что сорт пшеницы, изучавшийся нами, имеет среднее число колосков 19,440,13.

Данные, полученные в результате статистического изучения тех или иных признаков, заносят в сводную таблицу (табл.9).

Таблица 9 - Изменчивость элементов структуры урожая пшеницы

Культура, сорт	Изучаемые признаки	Статистические показатели
		х	σ	V	Sх	хSх
Пшеница озимая, сорт Боровичская	Число колосков в главном колосе	19,44	1,34	6,9	0,13	19,440,13
	Число зерен в главном колосе	41,0	8,00	19,5	0,80	41,00,80
	Масса зерна с одного растения	3,2	1,40	43,8	0,14	3,20,14

При определении степени взаимосвязи двух случайных величин, X и Y, вычисляют коэффициент корреляции (r) по следующей формуле:

 (x_i – x) · (y_i - y)

r = ------------------------------------

  (x_i - x)² ·  (y_i - y)²

Если величина r имеет знак «+», то корреляционная связь – положительная, если знак «-» - то связь отрицательная. Считается, что:

при r  0,3 – корреляция отсутствует,

при 0,3  r  0,5 – корреляция слабая,

при 0,5  r  0,7 – корреляция средняя,

при 0,7  r  0,9 – корреляция сильная,

при 0,9  r  1,0 – корреляция значительная.

Для удобства расчета данные заносят в следующую таблицу:

Таблица 10 – Представление данных для вычисления коэффициента

корреляции

Номер пары	xi	yi	xi - x	(xi – x)2	yi - y	(yi – y)2	(xi – x) · *(yi – y)
1
2
…
n
	 xi = …	 yi = …		 (xi – x)2 = …		 (yi – y)2 = …	 (xi – x) * (yi – y) = …

ПОДГОТОВКА К ЗАНЯТИЮ (ОСУЩЕСТВЛЯЕТСЯ ЛАБОРАНТОМ)

Летом необходимо собрать листья осины с одного дерева и высушить их между листами бумаги под прессом. То же самое следует проделать с листьями клубники, собирая их с каждого куста в отдельную папку. Рожь и пшеницу собирать ранней осенью, пока зерна не выпадают из колосьев; каждый куст злаковых растений следует вырывать из почвы целиком (с корнями), обвязывать и высушивать в подвешенном состоянии.

ЗАДАНИЕ.

1. Замерьте длину и ширину листьев осины; длину листа и число зубчиков средней доли листа клубники; длину колоса, число колосков и число зерен в главном колосе пшеницы; число зерен в колосе и длину колоса ржи. Измерения проводить с точностью до 1 мм.

2. Составьте вариационные ряды для двух изучаемых признаков в виде единой таблицы по образцу табл.10, затем - в виде раздельных таблиц (по аналогии с табл. 7).

3. Рассчитайте средние арифметические, определите моды и медианы. Данные представьте в виде таблиц (по аналогии с табл. 8).

4. Рассчитайте стандартное отклонение, коэффициент вариации, ошибку средней арифметической по каждому из показателей. Данные представьте в виде таблицы (по аналогии с табл.9).

5. Сформулируйте и запишите вывод о степени изменчивости и сравните размах модификационной изменчивости каждого из признаков.

6. Рассчитайте коэффициент корреляции между двумя изученными признаками. Запишите этот расчет и сделайте письменное заключение о наличии и степени взаимосвязи двух признаков.