- •§1. Аксиоматика линейных пространств.
- •§2. Линейно зависимые и линейно независимые системы элементов.
- •§3. Базис. Размерность. Координаты.
- •§4. Подпространства линейных пространств. Линейные оболочки.
- •Глава 1. Теория матриц и системы линейных алгебраических уравнений (слау).
- •§1. Матрицы. Основные определения.
- •§2. Простейшие операции над матрицами и их свойства.
- •Сложение (вычитание) матриц.
- •Умножение матрицы на число.
- •Произведение матриц.
- •§3. Определитель квадратной матрицы и его свойства.
- •§4. Миноры и ранг матрицы.
- •§5. Вычисление ранга матрицы.
- •§6. Обратная матрица.
- •§7. Решение матричных уравнений.
- •§8. Системы линейных алгебраических уравнений (слау).
- •§9. Квадратные слау. Правило Крамера.
- •§10. Критерий совместности слау. Теорема Кронекера – Капелли.
- •§11. Общее решение слау.
ЛИНЕЙНЫЕ ПРОСТРАНСТВА
Введение. Основные понятия и определения.
§1. Аксиоматика линейных пространств.
Определение. Линейным пространством L = {a,b,c,…} называется множество, относительно элементов которого определены операции сложения и умножения на число, причем результаты этих операций принадлежат этому же множеству (говорят, что L замкнуто относительно операций сложения и умножения на число): .
(Элементы линейных пространств также будем называть векторами)
Для эти операции удовлетворяют следующим условиям:
1. a + b = b + a (коммутативность сложения).
2. (a + b) + c = a + (b + c) (ассоциативность сложения).
3..
4.
5. 1·а = а.
6.
7. (α + β)а = αа + βа (дистрибутивность).
8. α(а + b) = αa + αb (дистрибутивность).
Перечисленные свойства, обычно, называют аксиомами. Имеют место теоремы:
Теорема 1. Нулевой элемент – единственен.
{От противного: 01,02; 01+02=01 и 02+01=02 (акс. (3)). Из акс.(1) следует: 01=02}
Теорема 2. противоположный элемент – единственен.
{Пусть для }
Теорема 3. 0·а = 0.
{}
Теорема 4.
{}
Примеры.
§2. Линейно зависимые и линейно независимые системы элементов.
Определение 1. Сумма называется линейной комбинацией элементов а1, а2,…,аn с коэффициентами λk .
Определение 2. Система элементов линейного пространства {a1,…,an} называется линейно зависимой, если найдутся коэффициенты λ1,…,λn не все равные нулю, линейная комбинация с которыми равна нулю, т.е.
Определение 3. Система элементов линейного пространства {a1,…,an} называется линейно
независимой, если ее линейная комбинация равна нулю только с нулевыми коэффициентами:
Имеют место несколько простых утверждений.
Теорема 1 (необходимое и достаточное условие линейной зависимости). a1,…,an – линейно зависима когда хотя бы один из элементов является линейной комбинацией остальных.
{1.(необходимость: {ak} – л.з. ): . Пусть, для определенности, а1 – линейная комбинация остальных.
2.(достаточность: am – л.к.): }
Теорема 2. Если один из элементов системы равен нулю, то вся система линейно зависима.
{}
Теорема 3. Если подсистема линейно зависима, то и вся система линейно зависима.
{}
Примеры.
1) 2)
3) {f1 = 1, f2 = x, f3 = x2 } – линейно независимы.
§3. Базис. Размерность. Координаты.
Определение 1. Базисом линейного пространства L называется система элементов принадлежащих L, удовлетворяющая двум условиям:
1) Система линейно независима.
2) Любой элемент L линейно выражается через базисные (т.е. является линейной комбинацией элементов ):
Примеры. Базис на плоскости (V2 – 2 неколлинеарных вектора), в пространстве (V3 – 3 некомпланарных вектора), в пространстве Rn (канонический базис), в пространстве многочленов степени ≤ n − (1,х,х2,…,хn).
Теорема 1. Коэффициенты разложения по базису – единственны.
{Пусть }
Определение 2. Координатами элемента линейного пространства в некотором базисе называются коэффициенты разложения по этому базису.
(В силу Т.1 это определение корректно)
Будем писать: .
В дальнейшем, по умолчанию, будем считать вектор вектором – столбцом, в противном случае будем писать строку координат в явном виде: либо как
Теорема 2. При сложении векторов их координаты складываются:
{}
Теорема 3. При умножении вектора на число его координаты умножаются на это число:
λа = (λα1,…,λαn). {}
Определение 3. Размерностью линейного пространства L (обозначается dimL) называется максимальное число линейно независимых элементов этого пространства.
Если такого числа не существует – пространство называется бесконечномерным.
Теорема 4. Размерность линейного пространства равна числу базисных векторов. {б/д}
Отсюда, в частности, следует, что все базисы одного пространства состоят из одинакового числа векторов.
Примеры. V2 ; V3 ; Rn.