37. Градиентом функции

^{Z=f(M) в точке М(х;у) называется вектор, координаты которого равны частным производным в точке М. gradZ={Zx’(M);Zy’(M)}.}

^{используя понятие градиента производная по направлению может быть записана как: f’x(x;y)cosa + f’y(x;y)cosb (Если l – орт направления, то: dZ/dl = gradf(x;y)*вектор«l»). Градиент показывает направление наибыстрейшего роста функции в данной точке.}

^{Свойство: производная функция по направлению градиента максимально возможное значение, т.к. градиент – вектор, показывающий направление наибольшего роста функции в каждой точке.}

38. Свойство градиента двух переменных.

^{Вектор градиента перпендикулярен к касательной, проведенной к линии уровня в некоторой точке}

39. Экстремумы (теоремы с доказательствами)

^{Экстремум функции двух переменных – значение функции в точке минимума или максимума.}

^{Точка (x0;y0) – точка минимума, если для любого (х;у) из б-окрестности точки (х0;у0) справедливо: f(x;y) < f(x0;y0).}

^{Теорема необходимое условие для локального экстремума: Если Z=f(x;y), имеет экстремум в точке (x0;y0), и в этой точке существуют частные производные первого порядка, то они равны нулю.}

^{Теорема достаточное условие локального экстремума: Пусть в точке М0 возможного экстремума и некоторой её окрестности функция Z=f(x;y) имеет частные производные второго порядка. Обозначим: Z’’xx=A, Z’’xy=B, Z’’yy=C. Составим матрицу:AB-BC, обозначим det=AC-BB, тогда:}

^{Если det>0, то точка М0 – является точкой локального экстремума, Если det<0. то в точке М0 – экстремума нет, если det=0 – требуются дополнительные исследования. Если D>0, A>0, М0 – точка минимума,Если D>0, A<0, М0 – точка максимума.}

40. Условный экстремум.

^{Условным экстремумом функции Z=f(x;y) называется экстремум этой функции при условии, что х и у связаны уравнением j(х;у)=0 – уравнением связи.}

^{Если одна переменная может быть однозначно выражена через другую, то y=g(x) подставляем в функцию Z, и обычным способом находим экстремум функции одной переменной. Если это не возможно, то в общем случае задача на отыскание условного экстремума состоит в исследовании на обычный экстремум вспомогательной функции u, где u(x;y)=f(x;y)-lj(x;y), где l - неизвестный параметр =const.}

^{Теорема необходимое условие условного экстремума: Чтобы точка М0 была точкой условного экстремума необходимо чтобы в ней выполнялось: f’x =0, f’y =0, j(x;y)=0 (f’l=0), где функция u – функция Лагранжа, l - множитель Лагранжа}

^{Пусть функция определена и непрерывна в ограниченной замкнутой области D. Тогда она достигает в некоторых точках D своего наибольшего М и наименьшего m значений. Эти значения достигаются функцией в точках, расположенных внутри области D, или в точках, лежащих на границе области.}

^{Правило нахождения: 1.Найти все критические точки функции, принадлежащие D , и вычислить значения функции в них; 2. Найти наиб. и наим. значения функции на границах. 3.Сравнить все найденные значения функции и выбрать.}

41. Первообразная и неопределенный интеграл.

^{Первообразная F(x) для функции f(x) – такая функция, что F’(x)=f(x) (dF(x)=f(x)dx)}

^{Определение: Если функция F(x) – первообразная для f(x) на промежутке (a;b), то множество функций F(x)+C – неопределённый интеграл от f(x).}

^{∫f(x)dx=F(x)+C, где f(x) – подынтегральная функция, f(x)dx – подынтегральное выражение, dx – переменная интегрирования. Множество первообразных функции f(x) называется неопределённым интегралом от этой функции и обозначается символом .}