Модифицированный метод Эйлера
В
данном методе вычисление
состоит из двух этапов:
,
. (5.7)
Данная схема называется также методом предиктор-корректор. Это английское название, означающее «предсказать-исправить». Действительно, на первом этапе приближенное значение предсказывается с первым порядком точности, а на втором этапе это предсказание исправляется, так что результирующее значение имеет второй порядок точности.
Методы Рунге-Кутты
Идея построения
явных методов Рунге-Кутты
-го
порядка заключается в получении
приближений к значениям
по формуле вида
,
где
,
,
,
…
.
Здесь
– некоторые фиксированные числа
(параметры), которые
подбирают таким образом, чтобы получить
нужный порядок аппроксимации p.
Как правило, для каждого p
существует не одна схема Рунге-Кутты
порядка p,
а целое параметрическое семейство. Так,
схемы Рунге-Кутта второго
порядка точности образуют
однопараметрическое
семейство
(5.8)
Выделим
из семейства методов (5.8) два наиболее
простых и часто используемых частных
случая. При
получаем формулы
,
(5.9)
которые совпадают с формулами модифицированного метода Эйлера (5.7). При a=1 выводим новый простой метод
,
который называется методом средней точки.
Схема Рунге-Кутта четвертого порядка точности. При p=4 можно получить один из вариантов метода:
(5.10)
ПРИМЕР 5.1. Решить задачу Коши:
на
отрезке
с
шагом
с помощью явного метода Эйлера (5.5),
модифицированного метода Эйлера (5.7) и
четырехэтапного метода Рунге-Кутта
(5.10). Точное решение:
.
Построим
разностную сетку
.
Расчетные
формулы по явному методу Эйлера для
данного примера:
,
.
Расчетные
формулы модифицированного метода
Эйлера:
,
,
,
Расчетные формулы метода Рунге-Кутта:
,
Результаты вычислений в Excel приведены ниже
|
|
|
Эйлер |
|
Модиф. Эйлер |
Рунге-Кутта |
Точное |
|
0 |
0 |
1 |
1 |
1 |
1 |
1 |
|
1 |
0.1 |
1.2 |
1.2 |
1.22 |
1.218393 |
1.222104 |
|
2 |
0.2 |
1.442 |
1.462 |
1.488593 |
1.488609 |
1.497737 |
|
3 |
0.3 |
1.7384 |
1.788993 |
1.824368 |
1.826287 |
1.843178 |
|
4 |
0.4 |
2.10408 |
2.200166 |
2.24674 |
2.250465 |
2.278311 |
|
5 |
0.5 |
2.556896 |
2.718774 |
2.779016 |
2.784329 |
2.827423 |
|
6 |
0.6 |
3.118275 |
3.372771 |
3.449508 |
3.456112 |
3.520175 |
|
7 |
0.7 |
3.81393 |
4.196062 |
4.292669 |
4.300192 |
4.3928 |
|
8 |
0.8 |
4.674716 |
5.229881 |
5.350447 |
5.358432 |
5.489549 |
|
9 |
0.9 |
5.73766 |
6.524423 |
6.673919 |
6.68181 |
6.864471 |
|
10 |
1 |
7.047191 |
8.140804 |
8.325282 |
8.332399 |
8.583584 |
Видно, что в сравнении с точным решением, самым точным является метод Рунге – Кутта.