Лабораторная работа № 1
-
Логические элементы эвм и синтез цифровых устройств
Целью работы является:
- ознакомление с системой логических элементов, реализующих элементарные функции алгебры логики (ФАЛ);
- ознакомление с программой схемотехнического моделирования ELECTRONIC WORKBENCH 3.0 и ее применение для синтеза и анализа цифровых устройств ЭВМ;
- исследование возможностей реализации сложных логических функций, их минимизации и синтезом логических схем.
Основные теоретические положения.
Математической основой цифровой электроники и вычислительной техники является алгебра логики или булева алгебра (по имени английского математика Джона Буля).
В булевой алгебре независимые переменные или аргументы (X) принимают только два значения: 0 или 1. Зависимые переменные или функции (Y) также могут принимать только одно из двух значений - 0 или 1. Функция алгебры логики представляется в виде:
Y= F (X1, X2,... Хn)
Данная форма задания ФАЛ называется алгебраической.
Основными алгебраическими функциями являются:
- НЕ- логическое отрицание (инверсия) Y= X
- ИЛИ- логической сложение (дизъюнкция)
Y= X1+ X2 или Y= X1 v Х2
- И- логическое умножение (конъюнкция)
Y=X1 * X2 или Y= X1 X2
К более сложным функциям алгебры логики относятся:
- функция равнозначности (эквивалентности) Y= X1 Х2
- функция неравнозначности (сложение по модулю два)
Y= X1 X2
-ИЛИ- НЕ- функция Пирса (логическое сложение с отрицанием)
-
Y= X1 + X2
- И- НЕ- функция Шеффера ( логическое умножение с отрицанием)
Y= X1 * X2
Для Булевой алгебры справедливы следующие законы и правила:
- распределительный закон
X1 ( Х2 + Х3) = X1 * Х2 + X1 * Х3
X1 + X2 * Х3 = (X1 + X2) ( X1 + Х3) ;
- правило повторения
Х * Х = Х, Х + Х = Х ;
- правило отрицания
Х *Х = 0, Х +Х = 1;
-теорема де Моргана
X1 + X2 = X1 * X2, X1 * Х3 = X1 + Х2;
- тождества
Х * 1 = Х, Х+0=Х, Х * 0 = 0, Х + 1 = 1.
Схемы, реализующие логические функции, называются логическими элементами. Основные логические элементы имеют, как правило, один выход (Y) и несколько входов, число которых равно числу аргументов (X1, X2, Х3 . . . Xn). На рис. 1.1-7.1 представлены логические элементы, реализующие рассмотренные функции. Там же представлены так называемые таблицы состояний или таблицы истинности, описывающие соответствующие логические функции в двоичном коде в виде состояний входных и выходных переменных. Таблица истинности является табличным способом задания ФАЛ. На рис.1.1 представлен элемент НЕ, реализующий функцию логического отрицания.
Рис.1.1
Элемент ИЛИ (рис.2.1) и элемент И (рис.3.1) реализуют функции логического сложения и логического умножения соответственно.
Х1
Х2
X1 |
X2 |
Y |
0 |
0 |
0 |
1 |
0 |
1 |
0 |
1 |
1 |
1 |
1 |
1 |
Рис. 2.1
Х1
Х2
X1 |
Х2 |
Y |
0 |
0 |
0 |
1 |
0 |
0 |
0 |
1 |
0 |
1 |
1 |
1 |
Рис.3.1
Функции Пирса и Шеффера реализуются с помощью элементов ИЛИ-НЕ и И-НЕ, представленных на рис. 4.1 и рис.5.1 соответственно.
Х1
Х2
Х1 |
Х2 |
Y |
0 |
0 |
1 |
1 |
0 |
0 |
0 |
1 |
0 |
1 |
1 |
0 |
Рис. 4.1
Х1
Х2
Х1 |
Х2 |
Y |
0 |
0 |
1 |
1 |
0 |
1 |
0 |
1 |
0 |
1 |
1 |
0 |
Рис.5.1
Элемент Пирса можно представить в виде последовательного соединения элемента ИЛИ и элемента НЕ, а элемент Шеффера - в виде последовательного соединения элемента И, НЕ. На рис. 6.1 и рис.7.1 представлены элементы Исключающее ИЛИ и НЕ Исключающее ИЛИ, реализующие функции неравнозначности и равнозначности соответственно.
Х1
Х2
Х1 |
Х2 |
Y |
0 |
0 |
0 |
1 |
0 |
1 |
0 |
1 |
1 |
1 |
1 |
0 |
Рис. 6.1
Х1 |
Х2 |
Y |
0 |
0 |
1 |
1 |
0 |
0 |
0 |
1 |
0 |
1 |
1 |
1 |
Рис. 7.1
Логические элементы, реализующие операции конъюнкции, дизъюнкции, функции Пирса и Шеффера, могут быть в общем случае n- входовые. Для них в таблицах истинности будет N= 2й число возможных комбинаций входных переменных. ФАЛ любой сложности можно реализовать с помощью указанных логических элементов. Сложными ФАЛ описывается работа многих цифровых устройств ЭВМ. При этом имеют дело с техническим аналогом булевой функции - комбинационной схемой, выполняющей соответствующее этой функции преобразование информации. Кроме табличного задания ФАЛ или булевой функции существует алгебраический способ. Чтобы перейти к алгебраической форме следует применить правило образования так называемой СДНФ (Совершенной Дизъюнктивной Нормальной Формы). По этому правилу переход производится в следующем порядке:
1. по каждому набору двоичных переменных, при котором функция принимает значение единицы составляют элементарные конъюнкции (минтермы) ;
2. в элемент строки конъюнкции записывают неинвертированными переменные, заданные единицей в таблице истинности, инвертированными - те переменные, которые в таблице истинности заданы нулем;
3. элементарные конъюнкции соединяются знаком дизъюнкции.
Пример.
Функция Y (Х1, Х2, Х3) задана таблицей истинности. Следует образовать ее СДНФ.
Х1 |
Х2 |
Х3 |
Y |
МИН ТЕРМ |
0 |
0 |
0 |
0 |
- |
0 |
0 |
1 |
1 |
Х1, Х2, Х3 |
0 |
1 |
0 |
1 |
Х1, Х2, Х3 |
0 |
1 |
1 |
0 |
- |
1 |
0 |
0 |
1 |
Х1, Х2, Х3 |
1 |
0 |
1 |
0 |
- |
1 |
1 |
0 |
0 |
- |
1 |
1 |
1 |
1 |
Х1, Х2, Х3 |
По данной таблице находим, что функция Y принимает значение единицы при четырех наборах аргументов, поэтому функция Y в СДНФ будет состоять из логической суммы четырех минтермов:
Y= Х1 Х2 Х3 + Х1 Х2 Х3 + Х1 Х2 Х3 + Х1 Х2 Х3
Данная логическая функция определяет принцип построения схемы цифрового устройства, которое имеет четыре трехвходовых элемента И, один четырехвходовой элемент -ИЛИ- и два элемента -НЕ-.
Основными требованиями при составлении (синтезе) схемы устройства являются- минимальное число логических элементов и однородность используемых операций. С целью минимизации в схеме числа элементов производят упрощение логического выражения функции. Основными способами минимизации являются:
- использование законов и правил алгебры логики;
- с помощью карт Карно (диаграмм Вейча);
Пример минимизации с использованием первого способа.
Пусть СДНФ функция имеет вид: Y= Х1 Х2 Х3 + Х1 Х2 Х3 + Х1 Х2 Х3 + Х1 Х2 Х3
Используя правило повторения, а также правило отрицания и распределительный закон запишем функцию в следующем виде:
Y= Х1 Х2 Х3 + Х1 Х2 Х3 + Х1 Х2 Х3 + Х1 Х2 Х3 + Х1 Х2 Х3 + Х1 Х2 Х3 = Х2 Х3 (Х1 + Х1) + Х1 Х3 (Х2 + Х2) + Х1 Х2 (Х3 + Х3) = Х2 Х3 + Х1 Х3 + Х1 Х2