Лабораторна робота № 2 Операції з векторами і матрицями, графіка, програмування функцій

Мета роботи:

1. Отримати навички обчислення виконання алгебраїчних операцій з векторами, матрицями, поліномами.

2. Ознайомитись з основами побудови графіків та програмного керування їх властивостей з допомогою дескрипторів.

3. Отримати навички програмування функцій користувача.

1. Формування векторів і матриць

Система МАТLАВ призначена перш за все для роботи з векторами (масивами) і матрицями. Під вектором (рядком або стовпчиком) розуміють одновимірний масив, а під матрицею – двовимірний масив. Числа подаються як матриці розміру 1x1.

Вектор можна задавати з клавіатури по елементним введенням в квадратних дужках: v=[1 2 3]. Змінній v буде присвоєно введений вектор-рядок. Елементи вектора-рядка розділяються пробілами (або комою), а весь список елементів береться в квадратні дужки. Вектор можна вводити частинами, потім об'єднати їх в рядок: v=[v, v].

Якщо елементи вектора v являються арифметичної прогресією з відомим кроком, то ввести його можна записом: v = а:h:b, де а - початкове значення прогресії; h - різниця прогресії (крок), b - кінцеве значення прогресії. Якщо різниця прогресії не зазначена, то за умовчуванням вона дорівнює 1.

Вектор-стовпчик вводиться так саме, як вектор рядок, але елементи відокремлюються знаком " ; " (крапка з комою).

Елементи матриць вводяться в квадратних дужках по рядках, які відокремлюють один від одного знаком " ; ", наприклад b =[1 2; 3 4]

Матрицю можна ввести за допомогою операції вертикальної конкатенації (об'єднання) векторів-рядків: f=[v; v].

Щоб виділити елемент матриці, використовують індексацію елементу в круглих дужках, рядки і стовпці в індексах нумеруються з одиниці. Елементу матриці можна присвоїти нове значення: b(2,1)= 6.

Для формування векторів і матриць спеціального виду використовують призначені для цього функції. Деякі з них такі:

zeros(m, n) - створює матрицю розміром (m, n) з нульовими елементами. Часто застосовується для попереднього виділення пам'яті для змінної;

оnеs(m, n) - створює матрицю розміром (m, n) з одиничними елементами;

еуе(m, n) - створює матрицю розміром (m, n) з одиницями на головної діагоналі;

rand(m, n) - створює матрицю розміром (m, n) з випадкових чисел, розподілених рівномірно в діапазоні (0, 1);

randn(m, n) - створює матрицю розміром (m, n) з випадкових чисел, розподілених нормально з нульовим математичним сподіванням і середнім квадратичним відхиленням, рівним одиниці.

Завдання 1.

1. Ознайомтесь за допомогою команди helр з використанням функцій zeros, оnеs, еуе, rand, randn.

2. Сформуйте матриці вказаного виду. Задайте вхідним аргументам т та п значення від 1 до 3. Запишіть результати.

3. Сформуйте довільну матрицю функцією а = zeros (m, n). Виконайте присвоювання ненульового значення елементу а(k, l) а) для k<m, l<n; б) k>m, l>n.

4. Виконайте дії п. 3) для матриці, сформованої функцією rand (або randn). Поясніть результати.

2. Операції з векторами і матрицями

З векторами та матрицями в МАТLАВ можна виконувати векторні і поелементні операції.

Додавання, віднімання векторів і матриць однакового розміру, множення вектора (матриці) на число (може бути комплексним) виконується операторами + ,-,*.

Для транспонування векторів (матриць) застосовується знак апострофа, та функції transpose, ctranspose. Якщо елементи вектора (матриці) комплексні, то вони перетворюються на комплексно спряжені (ермітове спряження).

Для виконання множення вектора на вектор вони мають бути одного розміру, один з множників має бути рядком, другий стовпчиком.

Поелементні операції перетворюють елементи вектора та матриці як елементи масиву. До таких операцій відносяться всі елементарні математичні функції. При використанні вектору як аргументу функції буде обчислюватися значення для кожного елемента вектора

Аналогічно обчислюються значення елементарних функцій для матричного аргументу. Додавання (віднімання) числа до кожного елемента вектора або матриці виконується оператором + (-).

Поелементні операції записуються як звичайні, але з додатковою крапкою перед відповідним знаком операції:

поелементне множення векторів і матриць - .*

поелементне ділення векторів - ./

поелементне піднесення до степені - .^{^}

При використанні арифметичних операцій з матрицями як з єдиними об'єктами дані операції записуються в їхньому звичному представленні. Зверніть увагу, що результати звичайного і поелементного множення матриць відрізняються.

Для обернення матриць використовують вбудовану функцію inv. Щоб знайти визначник матриці можна використовувати функцію det.

Перелік елементарними операцій з матрицями можна одержати командою help elmat, перелік матричних функцій лінійної алгебри – help matfun.

Завдання 2.

1. Ознайомтесь з переліком елементарними операцій з матрицями (help elmat).

2. Ознайомтесь з переліком матричних функцій лінійної алгебри (help matfun).

3. Введіть матриці А, В.

4. Виконайте горизонтальну та вертикальну конкатенацію матриць.

5. Знайдіть суму і різницю матриць.

6. Виконайте множення матриць А , В. Поясніть результат.

7. Виконайте транспонування матриць А, В.

8. Обчисліть матрицю С як результат множення матриці А на транспоновану В

9. Знайдіть матриці, обернену для матриці С. Перевірте, що множення матриці С на обернену дає одиничну матрицю.

10. Обчисліть визначник (детермінант) матриці С.