6.4. Использование данных о надежности банков для субъективной оценки уровня риска и байесовский подход к ее уточнению

Выше рассматривались приемы расчета объективной вероятности риска. Они были связаны с использованием либо вероятностных моделей, либо статистики банкротств и опирались на учетные данные.

Когда нет таких данных и получить объективную оценка уровня риска невозможно, приходится прибегать к субъективным его оценкам, основанным на интуиции и опыте экспертов. В экономике и бизнесе это приходится делать довольно часто. Как правило, в них встречаются такие события, для определения вероятности которых невозможно ни применить расчет, ни поставить опыт, что и заставило Дж. Кейнса ввести в оборот понятие субъективной вероятности.

При определении ее уровня эксперты привлекают на помощь отношение правдоподобия, называемое также принципом безразличия. Согласно ему, одинаково правдоподобные события или суждения должны иметь одинаковую вероятность, что математически записывается так: если А=В, то Р(А) = Р(В).

Более правдоподобное событие или суждение должно иметь большую вероятность: если А >В, то Р(А) > Р(В).

Отношение правдоподобия может позволить только очень грубую прикидку. Чтобы придать несколько большую количественную определенность субъективным оценкам вероятности, иной раз прибегают к помощи, например, табл. 1.2, которая, условно устанавливает связь между количественным аналогом и словесной оценкой событий.

Таблица 1.2

Словесная оценка события	Количественный аналог
Практически невозможное	Р<0.01
Очень маловероятное	Р<0.05
Более возможное, чем невозможное	Р>0.5
Очень вероятное	Р>0.95
Практически достоверное	Р>0.99

Известные уточнения в экспертную оценку субъективной вероятности можно внести с помощью формулы Байеса, позволяющей корректировать первоначально установленные вероятности риска на основе получения некоторой дополнительной информации. Применение формулы Байеса для этих целей будет рассмотрено ниже. Если используется концепция субъективной вероятности, то никаких проблем с употреблением этой формулы не возникает.

Для субъективной вероятности сохраняют силу все аксиомы классической теории вероятностей: вероятность случайного события А находится в пределах от нуля до единицы 0  Р(А)  1, вероятность невозможного события U равна нулю P(U) = 0.

Следует, однако, заметить, что событие, вероятность которого оказалась равной нулю, не обязательно является невозможным: вероятность достоверного события V равна единице – P(V)=1; вероятность полной группы событий всегда равна единице. Полной группой событий называется такая их совокупность, из которых одно обязательно должно произойти. Пример полной группы событий будет приведен ниже.

Для субъективной вероятности сохраняют силу не только аксиомы, но и все теоремы теории вероятностей. Так, теорема умножения вероятностей позволяет определять вероятность того, что произойдет и событие А, и событие В: Р(А и В) = Р(А) * Р(В). Теорема сложения событий позволяет определять вероятность того, что произойдет или событие А, или событие В: для несовместных событий – Р(А или В) = Р(А) + Р(В); для совместных событий (произойдет или событие А, или событие В, или оба вместе) – Р(А или В) = Р(А) + Р(В) – Р(А) * Р(В).

Пример 4. Эксперты определили надежность банка А на уровне 90%, а банка В – на уровне 80%. Следовательно, они считают, что банк А может оказаться банкротом с вероятностью в 10%, а банк В с вероятностью в 20%.

Согласно теореме умножения, вероятность того, что оба банка не станут банкротами, здесь будет равна Р(А и В) = Р(А) * Р(В) = 0.9 * 0.8 = 0.72.

Вероятность же того, что оба банка станут банкротами, составит Р( и ) =0.1 0.2 = 0.02. Здесь и – события противоположные А и В.

Вероятность того, что банкротом станет только банк А, а банк В продолжит свою деятельность, будет равна

Р( и В) = 0.1 * 0.8 = 0.08.

Вероятность банкротства только банка В составит

Р(А и )| = 0.9-0.2-0.18.

Заметим, что вероятность одновременного банкротства сразу двух банков многократно меньше вероятности банкротства каждого из них в отдельности (0.02 против 0.10 или 0.20) Значит, если надо во что бы то ни стало избежать потери всех средств, следует помещать их не в один, пусть самый надежный банк, а в несколько банков. Это называется диверсификацией. Иной раз она может несколько снизить доход, зато повышает гарантию сохранности хотя бы части средств, т.е. помогает инвесторам избежать при рискованных инвестициях полного финансового краха.

Как уже отмечалось, теорема сложения вероятностей позволяет определять вероятность наступления или события А, или события В. Согласно ей, вероятность банкротства только одного какого-нибудь банка (или банка А, или банка В) будет равна

Р( В или А) = Р( В) + Р(А) = 0,08 + 0,18 = 0,26.

От понятия наступление только одного банкротства надо отличать понятие наступление хотя бы одного банкротства. Вероятность последнего (или банка А, или банка В, или сразу двух) составит по формуле суммы вероятностей для совместных событий

Р(А или В) = Р(А) + Р(В) - Р(А) * Р(В) =0.1 + 0.2 - 0.02 = 0.28.

Этот же результат можно также получить, суммируя ранее найденные вероятности банкротства только одного какого-нибудь банка и банкротства сразу двух банков: 0.26 + 0.02 = 0.28. Наконец, ту же самую цифру можно получить как вероятность события, противоположного отсутствию всяких банкротств: 1 - 0.72 = 0.28.

Полную группу событий в данном примере составляет следующий перечень событий: полное отсутствие банкротств, банкротство только одного банка, банкротство сразу двух банков.

Сумма их вероятностей равна единице: 0.72 + 0.26 + 0.02 = 1.

Пример 5. Эксперты установили, что вероятность банкротства банка (фирмы, компании) в течение предстоящего года составляет 10%. Чему равна вероятность того, что банкротство этого банка произойдет в течение трех ближайших лет? в течение одного квартала?

Решение:

Правильный ответ на первый вопрос нельзя получить простым суммированием вероятностей банкротств за три года. Для правильного ответа надо использовать теорему умножения вероятностей.

Вероятность того, что банк в течение трех лет не стане банкротом (будет благополучным и в первом, и во втором, и третьем году), равна по теореме умножения вероятностей 0.9 * 0.9  0.9= 0.729. Отсюда вероятность того, что он потерпят крах в течение трех ближайших лет, составит 1 - 0.729 = 0.271 или 27.1%. Складывать уровни риска банкротства здесь нельзя по той же причине, по которой нельзя суммированием получить общее за три года снижение себестоимости, если ее ежегодное снижение равно 10%. Себестоимость за три года снизится, если правильно считать, не на 30%, а на 27.1%.

Уровень банкротства банка в течение части года, например квартала, подсчитывается так:

1 - = 1 - 0,074 = 0,026 или 2,6%, но не 10%:4=2,5%. Уровень банкротства банка в течение только одного месяца получают следующим образом:

1 - = 1-0,991 = 0,009 или 0,9%, но не 10%: 12 = 0.83%.

Пример 6. У банка имеются 10 должников. Вероятность невозврата каждым из них своего долга оценена экспертами банка на уровне 10%. Чему равна вероятность того, что не погасят свой долг не менее 3 должников, т.е. не вернут долг 1, 2 или 3 должника из 10 должников банка?

Решение:

Здесь тоже можно воспользоваться теоремами сложения умножения вероятностей, но решение получится несколько громоздким. В последнем случае лучше применить формулу Бернулли:

где P_n(m) — вероятность наступления события m раз в п испытаниях,

р - вероятность наступления события в единичном испытании,

q - вероятность противоположного события,

- число сочетаний из n элементов по m.

Число сочетаний в свою очередь подсчитывается по формуле

В нашем примере р = 0.1, q=0.9 и п=10.

Найдем вероятности того, что не погасят свой долг 1, 2 и 3 должника из 10.

,

,

.

Если бы вероятность невозврата долга была равна не 10%, а всего 1%, т.е. была бы редким событием, то расчеты надо было бы делать с помощью формулы Пуассона, где е = 2.718.

Расчеты в последнем случае выглядели бы так:

,

,

.

а всего - 0.095158, т. е. приблизительно 9.5%.