- •1.Понятие комплексного числа, его вещественная и мнимая часть
- •2.Модуль и аргумент комплексного числа.
- •3. Геометрическая модель
- •Тригонометрическая и показательная формы
- •4.Умножение комплексных чисел в тригонометрической форме
- •5. Сопряженное комплексное число
- •6.Определение матрицы над полем
- •Свойства обратной матрицы
- •13.Невырожденная матрица
- •14.Элементарные преобразования матрицы
- •15. Определение векторного пространства
- •16.Линейная выражаемость вектора, линейная оболочка системы векторов.
- •17.Подпространство
- •18.Линейно-зависимые и линейно-независимые системы векторов
- •Свойства
- •19.Базис системы векторов
- •20. Ранг системы векторов, размерность подпространства
- •21. Основные свойства базиса в конечномерном пространстве
- •22.Координаты вектора.
- •23. Формула преобразования координат вектора
- •24.Сумма и пересечение подпространств.
- •25Определение прямой суммы подпространств
- •27.Линейное преобразование над векторным пространством
- •28.Матрицы линейного преобразования
- •29.Изменение матрицы линейного преобразования при замене базиса
- •30.Собственные вектор и значения линейнго преобразования
- •40.Пространство линейных функционалов (сопряженное пространство).
- •Линейно-сопряжённое пространство — определение
- •Свойства
- •Обозначения
- •41.Определение преобразования, сопряженное к данному преобразованию
- •42.Матрица сопряженного преобразования.
- •43.Определение нормального преобразования.
- •44.Теорема о диагонализуемости нормального оператора.
- •45.Определение симметричных (эрмитовы) и кососимметричных (косоэрмитовых) преобразования.
- •Примеры
- •46.Канонический вид матрицы симметричного преобразования.
- •47.Определение ортогонального (унитарного) преобразования.
- •Свойства
- •Размерность два
- •48.Изометричные преобразования, их связь с унитарными (ортогональными).
- •49.Матрица перехода от одного ортонормированного базиса к другому.
- •51.Определение билинейной формы.
- •52.Матричное представление билинейной формы.
- •53.Определение квадратичной формы.
- •Определения
- •Связанные определения
- •Свойства
- •54.Нормальный вид квадратичной формы над полем действительных чисел.
- •55.Закон инерции квадратичных форм.
- •56.Положительно и неотрицательно определенные квадратичные формы над полем действительных чисел.
- •57.Критерий Сильвестра положительной определенности квадратичной формы.
28.Матрицы линейного преобразования
Пусть в n- мерном линейном пространстве с базисом ,,…, задано линейное преобразование А. Тогда векторы А,А,…,А- также векторы этого пространства и их можно представить в виде линейной комбинации векторов базиса:
A= a11+ a21+…+ an1
A= a12+ a22+…+ an2
……………………………….
A= an1+ an2+…+ ann
Тогда матрица А = называется матрицей линейного преобразования А.
29.Изменение матрицы линейного преобразования при замене базиса
Пусть -- -мерное линейное пространство, и -- два базиса в этом пространстве. Первый из них назовем "старым", а второй -- "новым". Пусть -- матрица перехода 19.1.4 а от старого базиса к новому.
Предложение 19.1 Пусть -- линейное преобразование пространства , и -- матрицы этого преобразования в старом и новом базисе соответственно. Тогда
Доказательство. Пусть -- произвольный вектор пространства , -- его образ, то есть . Пусть и -- координатные столбцы векторов и в старом базисе, а , -- в новом. Тогда в силу формулы (19.3) . По предложению 18.5 имеем , . Подставим эти выражения в предыдущую формулу, получаем . Откуда . С другой стороны, в силу формулы (19.3) в новом базисе . Сравнивая это равенство с предыдущим, получаем .
Определение 19.2 Две квадратных матрицы и одного порядка называются подобными, если существует такая невырожденная матрица , что .
Следствие 19.1 Матрицы одного линейного преобразования, соответствующие разным базисам, подобны друг другу, и наоборот, если матрицы подобны, то они являются матрицами одного и того же преобразования в разных базисах.
30.Собственные вектор и значения линейнго преобразования
Число называется собственным значением матрицы A, если существует такой ненулевой вектор x,что Ax = x.
Любой отличный от нуля вектор x, удовлетворяющий этому уравнению, называется собственным вектором, отвечающим собственному значению .
Пусть L — линейное пространство над полем K, — линейное преобразование.
Собственным вектором линейного преобразования A называется такой ненулевой вектор , что для некоторого
Собственным значением линейного преобразования A называется такое число , для которого существует собственный вектор, то есть уравнение Ax = λx имеет ненулевое решение .
Упрощённо говоря, собственный вектор - любой ненулевой вектор x, который отображается оператором в коллинеарный λx, а соответствующий скаляр λ называется собственным значением оператора.
Собственным подпространством линейного преобразования A для данного собственного числа называется множество всех собственных векторов , соответствующих данному собственному числу (дополненное нулевым вектором). Обозначим его Eλ. По определению,
где E — единичный оператор.
Корневым вектором линейного преобразования A для данного собственного значения называется такой ненулевой вектор , что для некоторого натурального числа m
31.характеристический многочлен
32.инвариантное подпространство
33.клеточно-диагональная матрица
34.1.жорданова форма
34.2.существование единственности жордановой формы
35.Определение евклидова пространства.
Евкли́дово простра́нство (также Эвкли́дово простра́нство) — в изначальном смысле, пространство, свойства которого описываются аксиомами евклидовой геометрии. В этом случае предполагается, что пространство имеет размерность 3.
В современном понимании, в более общем смысле, может обозначать один из сходных и тесно связанных объектов, определённых ниже. Обычно n-мерное евклидово пространство обозначается , хотя часто используется не вполне приемлемое обозначение .
- конечномерное векторное пространство с положительно определённым скалярным произведением. Является непосредств. обобщением обычного трёхмерного пространства. В Е. п. существуют декартовы координаты, в к-рых скалярное произведение ( ху )векторов х- (x1, . . . , х n )и y = (y1, . . . , y п )имеет вид (xy)=x1y1+. . .+х n у п. В произвольных координатах скалярное произведение по определению удовлетворяет условиям: 1) (хх)/0, (хх)=0 лишь при x=0;
2) (ху) = (ух)*;3) (a ху) =a( ху);4) x(y+z) =(xy)+ (xz), где a - любое комплексное число, * означает комплексное сопряжение.
36.Определение унитарного пространства.
Унитарное пространство — векторное пространство над полем комплексных чисел с эрмитовым скалярным произведением.
Эрмитовым скалярным произведением в линейном пространстве над полем комплексных чисел называется функция удовлетворяющая следующим условиям:
-
1) (полуторалинейность скалярного произведения)
и справедливы равенства:
-
2) (эрмитовость скалярного произведения)
справедливо равенство ,
-
3) (положительная определенность скалярного произведения)
имеем причем только при .
Другими словами, скалярным произведением называется положительно определенная полуторалинейная эрмитова функция .
Отметим, что над действительным пространством условие полуторалинейности эквивалентно билинейности, а эрмитовость — симметричности, и скалярное произведение становится положительно определенной билинейной симметричной функцией .
37.Определение нормы вектора.
38.Понятие ортонормированного базиса.
Определение. Базис называется ортонормированным, если его векторы попарно ортогональны и равны единице.
Определение. Декартова система координат, базис которой ортонормирован называется декартовой прямоугольной системой координат.
Ортогона́льность — понятие, являющееся обобщением перпендикулярности для линейных пространств с введённым скалярным произведением.
Если скалярное произведение двух элементов пространства равно нулю, то они называются ортогональными друг другу.
Важной особенностью понятия является его привязка к конкретному используемому скалярному произведению: при смене произведения ортогональные элементы могут стать неортогональными, и наоборот.