Министерство образования и науки Российской Федерации

Федеральное агентство по образованию

Южно-Российский государственный технический университет

(Новочеркасский политехнический институт)

________________________________________________________

Волгодонский институт (филиал)

Числовые ряды Методические указания и индивидуальные задания.

Новочеркасск 2006

УДК 514.742 (076.5)

Рецензент д-р техн. наук, проф. Ю.С.Сысоев

Составители: Шпонарская С.Н., Афиногенова М.А., Маневич В.В.,

Батаков А.И., Гладун К.К., Филиппова И.М.,

Лисичкина О.М., Дудник Л.В.

Числовые ряды: Методические указания и индивидуальные задания /Волгодонский ин-т юргту. ─ Новочеркасск: юргту, 2006.- 30 c.

Данный дидактический материал предназначен для организации самостоятельной работы студентов второго курса как дневной, так и вечерней форм обучения, выполняющих индивидуальные домашние задания по числовым рядам. Задачи, входящие в индивидуальные домашние задания, представлены в 30 вариантах.

 Волгодонский ин-т ЮРГТУ , 2006

• Коллектив авторов , 2006

Числовой ряд. Сходимость числового ряда

Выражение вида (1)

где ─ числа, называется числовым рядом.

Числа ; ;…;; … ― члены ряда; число ― общий член ряда.

Последовательность ; ;…; называется последовательностью частичных сумм, а ― п-й частичной суммой ряда.

Если существует и равен числу S, т.е. , то ряд (1) называется сходящимся, а S – его суммой. Если не существует или бесконечен, то ряд (1) называется расходящимся и суммы не имеет.

Пример 1. Дан ряд . Установить сходимость этого ряда и найти его сумму.

Решение. Представим общий член ряда в виде суммы простых дробей методом неопределённых коэффициентов.

Корни квадратного трёхчлена :

, , ,

;

,

; .

Следовательно, .

Запишем п-ю частичную сумму ряда и преобразуем её:

Поскольку , то данный ряд сходится и его сумма S=.

Ответ: сходится; S=.

Необходимый признак сходимости ряда

Если числовой ряд сходится, то .

Замечание. Обратное утверждение не верно.

Достаточный признак расходимости ряда

Если , то числовой ряд расходится.

Пример 2. Исследовать ряды на сходимость:

а).

Решение. Общий член ряда . Так как то ряд расходится по достаточному признаку расходимости.

Ответ: расходится.

б) .

Решение. Общий член ряда .

Так как то данный ряд расходится по достаточному признаку расходимости.

Ответ: расходится.

ПРИЗНАКИ СХОДИМОСТИ ЧИСЛОВЫХ РЯДОВ

С ПОЛОЖИТЕЛЬНЫМИ ЧЛЕНАМИ

Первый признак сравнения

Даны два ряда с положительными членами (1) и (2) и, начиная с некоторого номера , выполняется неравенство . Тогда из сходимости ряда (2) следует сходимость ряда (1); из расходимости ряда (1) следует расходимость ряда (2).

Второй признак сравнения (предельный)

Даны два ряда с положительными членами (1) и (2) и существует конечный, равный числу А (0), тогда ряды (1) и (2) сходятся или расходятся одновременно.

В качестве рядов для сравнения целесообразно выбирать:

1) ряд из членов геометрической прогрессии , который сходится при и расходится при .

2) обобщенный гармонический ряд , где p>0, который сходится при и расходится при .

Пример 3. Исследовать ряды на сходимость:

а).

Решение. Так как >, то, перейдя к обратным выражениям, получим . Для сравнения возьмем сходящийся обобщенный гармонический ряд . ; . Так как , то по первому признаку сравнения из сходимости следует сходимость ряда . Итак, исходный ряд сходится (его члены меньше членов сходящегося ряда).

Ответ: сходится.

б).

Решение. Так как , то, перейдя к обратным выражениям, получим . Для сравнения возьмем расходящийся обобщенный гармонический ряд . ; .

Так как , то по первому признаку сравнения из расходимости следует расходимость ряда . Итак, исходный ряд расходится (его члены больше членов расходящегося ряда).

Ответ: расходится.

в) .

Решение. Так как , то, перейдя к обратным выражениям и домножив обе части неравенства на , получим . Для сравнения возьмём сходящийся ряд из членов геометрической прогрессии , : ; .

Так как , то по первому признаку сравнения из сходимости следует сходимость .

Исходный ряд сходится (его члены меньше членов сходящегося ряда).

Ответ: сходится.

Пример 4. Исследовать ряды на сходимость:

а) .

Решение. Общий член ряда .

Для сравнения возьмём расходящийся обобщенный гармонический ряд () с общим членом .

Вычислим

Так как этот предел – число (0), то оба ряда расходятся одновременно по второму признаку сравнения.

Ответ: расходится.

б).

Решение. Общий член ряда .

Сравним ряд со сходящимся обобщенным гармоническим рядом с общим членом .

Вычислим

==.

Так как этот предел – число ( 0), то по второму признаку сравнения оба ряда сходятся одновременно.

Ответ: сходится.

в) .

Решение. Общий член ряда .

Сравним этот ряд со сходящимся рядом из членов геометрической прогрессии с общим членом .

Вычислим 0.

Так как этот предел – число ( 0), то по второму признаку сравнения оба ряда сходятся одновременно.

Ответ: сходится.