МИНИСТЕPСТВО ВЫСШЕГО И СPЕДНЕГО СПЕЦИАЛЬНОГО

ОБPАЗОВАНИЯ УКРАИНЫ

ВОСТОЧНО-УКРАИНСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ

МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ

к выполнению индивидуальных заданий по дисциплине

''Вычислительная техника и пpогpаммиpование''

У т в е p ж д е н о на заседании кафедpы технической кибернетики и систем управления. Протокол № 6 от 07.12.90

Луганск ВУГУ 1995

УДК 519.2.261.02(07)

Методические указания к выполнению индивидуальных заданий по

дисциплине "Вычислительная техника и программирование" (для сту-

дентов всех специальностей) /Сост.:Н.А.Калиненко,С.М.Танченко.-

Луганск:ВУГУ,1990.-39 с.

Изложены основные понятия и рекомендации, обеспечивающие воз-

можность самостоятельного выполнения индивидуальных заданий. При-

ведены варианты индивидуальных заданий и указан порядок их выпол-

нения.

Составители:	Калиненко H.А., доцент
	Танченко С.М., ассист.

Ответственный за выпуск

Рамазанов С.К.

При разработке алгоритмов решения конкретных инженерных задач часто приходится прибегать к методам численного анализа. Цель настоящих методических указаний - закрепление теоретического материала и приобретение практических навыков алгоритмизации и программирования с использованием вычислительных методов.

Данные методические указания содержат основные понятия и рекомендации, необходимые при выполнении конкретного индивидуального задания.

При подготовке к выполнению индивидуального задания следует внимательно прочитать соответствующие ей методические указания, изучить необходимый теоретический материал, разобрать примеры решения задач, приведенных в методических указаниях.

В результате подготовки студент должен :

знать цель, основные теоретические положения и содержание предстоящей работы;

уметь составлять алгоритмы и программы решения на ЭВМ типовых задач согласно теме занятия.

Отчет о выполнении индивидуального задания оформляется каждым студентом в отдельной тетради.

На титульном листе указывается :

название института и кафедры, наименование дисциплины, номер группы, фамилия и инициалы студента.

Содержание отчета :

название и цель работы,

условия задания,

схема алгоритма решения,

программа на языке Паскаль или Фортран ( алгоритмический язык ),

результаты решения задачи,

выводы.

Оформленный отчет предоставляется студентом к защите.

Индивидуальное задание 1.

Вычисление конечных сумм функционального и числового ряда.

Цель задания - закрепление теоретического материала, получение практических навыков програмирования циклических процесов с использованием метода итераций ( метода последовательных приближений ).

Порядок выполнения задания.

1. Получить рекуррентное соотношение для вычисления членов функционального ( числового ) ряда.

2. Составить схему алгоритма вычисления конечной суммы функционального ( числового ) ряда согласно условию, заданному в табл. 1.

3. Составить программу решения этой задачи на языке Бейсик.

4. Ввести программу в ЭВМ и получить результат.

5. Оформить отчет и предоставить его к защите.

Таблица 1

Варианты индивидуального задания

№ вари- анта	Сумма S	Условие окончания	Функция Y (точное значение)
1	2	3	4
1	1 1 1 1 1 --- + --- + --- + ---+...+------------ x 3x3 5x5 7x7 (2n+1)x2n+1	=10-4	Arth(x) ( | x |>1 )
2	x3 x5 x7 x2n+1 x + --- + --- + --- + ... + ------ 3 5 7 2n+1	N=10	arth(x) ( | x | < 1)
3*	1 1•3 1•3•5 x - ----x3 + -----x5 - -------x7 + ... 2•3 2•4•5 2•4•6•7 1•3•5(2n-1) ... + (-1)n--------------- 2•4•6•2n(2n+1)	=10-4	arsh(x) ( | x | < 1)
4	x2 x4 x6 x2n 1 + --- + --- + --- + ... + ----- 2! 4! 6! (2n)!	N=20	ch(x) ( | x |<  )
5	x3 x5 x7 x2n-1 x + --- + --- + --- + ... + ------ 3 5 7 2n-1	=10-5	sh(x) ( | x |<  )
6	 x3 x5 x7 x2n+1 --- -(x+---+---+---+...+(-1)n+1------) 2 3 5 7 2n+1	N=30	arcctg(x) ( | x | 1 )
7	 1 1 1 1 ± --- - --- + --- - --- + --- - ... 2 x 3x3 5x5 7x7 1 ...+ (-1)------------ (2n+1)x2n+1	=10-4	arcctg(x) ( | x | 1 ) “+”при x>1, “-”при x<-1
8	x3 x5 x7 x2n+1 x - --- + --- - --- + ... +(-1)----- 3 5 7 2n+1	N=20	arcctg(x) ( | x | 1 )

Продолжение табл. 1

1	2	3	4
9*	1 1•3 1•3•5 x + ----x3 + -----x5 + -------x7 + ... 2•3 2•4•5 2•4•6•7 1•3•5...(2n-1)x2n+1 ... + -------------------- 2•4•6...(2n)(2n+1)	N=30	arcsin(x) ( | x | 1 )
10*	 1•x3 1•3 1•3•5 --- - ( x + ---- + ----- + ------- + 2 2•3 2•4•5 2•4•6•7 1•3•5...(2n-1)(2n+1) ... + ------------------ 2•4•6...(2n)(2n+1)	x=10-4	arccos(x) ( | x | 1 )
11	x2 x3 x4 xn - ( x + --- + --- + --- + ... + --- ) 2 3 4 n	N=20	ln(1-x)(-1x<1)
12	x-1 (x-1)2 (x-1)3 (x-1)n --- + ----- + ----- + ... +----- x 2x2 3x3 nxn	x=10-4	ln(x) ( x > Ѕ )
13	x-1 (x-1)2 (x-1)3 (x-1)n --- - ----- + ----- - ... +(-1)n+1----- 1 2 3 n	N=30	ln(x)( 0x 1)
14	x-1 (x-1)2 (x-1)5 2 -------- + ------- + ... x+1 3(x+1)3 5(x+1)5 (x-1)2n+1  ... + ----------------- (2n+1)(x+1)2n+1	x=10-4	ln(x) ( x > 0 )
15	xln(a) (xln(a))2 (xln(a))3 1 + ------ + -------- + -------- + ... 1! 2! 3! (xln(a))n ... + --------- n!	N=20	ax ( | x |<  )
16	x x2 x3 x4 xn 1 + --- + ---+ --- + --- + ... + --- 1! 2! 3! 4! n!	N=30	ex ( | x |<  )
17*	x2cos(a) x3cos(a) cos(a) - xsin(a) - -------- + --------+ 2! 3! x4cos(a) xncos(a+n(/2)) + -------- - ... - ----------------- 4! n!	N=20	cos(x+a) ( | x |<  )
18	x2 x4 x6 x2n 1 - --- + --- - --- + ... +(-1)n----- 2! 4! 6! (2n)!	=10-6	cos(x) ( | x |<  )

Окончание табл. 1

1	2	3	4
19*	x2sin(a) x3cos(a) sin(a) - xcos(a) - -------- + --------+ 2! 3! x4sin(a) xnsin(a+n(/2)) + -------- - ... - ----------------- 4! n!	N=30	sin(x+a) ( | x |<  )
20	x3 x5 x7 x2n-1 x - --- + --- - --- + ... +(-1)n-1------ 3! 5! 7! (2n-1)	N=20	sin(x) ( | x |<  )
21	2n+1 1 + 3x2 + ... + ------x2n n!	N=20	2 (1+2x2)ex (| x |<)
22	3x + 8x2 + ... + n(n+2)xn	N=10	x(3-x) ------ ; x (1-x)3
23	x5 x2n2+1xn 1+2---+------+ ... +--------  2 2!2 n!2	=10-4	x2 x  --- + --- + xex/2 42 (| x |<1)
24	x3 x5 x2n+1 --- - --- + ... + (-1)n+1------ 3 15 4n2-1	=10-4	1+x2 x ----arctg(x) - --- 2 2
25	x5 x4n+1 x + --- + ... + ------ 5 4n+1	N=30	1 1+x ---ln-----+ 4 1-x 1 + ---arrctg(x) 2
26	x2 x4 x2n --- - --- + ... + (-1)n+1---------- 2 12 (2n+1)2n	N=10	____ xarctg(x)-ln1+x2
27	626562n+1 --- - ----- + ------ +...+ (-1)n-------- 6 3! 5! (2n+1)!	=10-4	sin(6)
28	626462n 1 - ----- + ------ - ... + (-1)n------- 2! 4! (2n)!	N=10	cos(6)
29*	1 1 1 ----- + --------- +...+ --------------- 1•2...l 2•3...(l+1) n(n+1)...(n+l-1)	N=10	1/(l-1)(l-1) l - целое число
30	1 1 1 1 1 + --- + --- + --- + ... + --- 1! 2! 3! n!	=10-4	e=2,718282

Краткие сведения из теории.

Основные понятия. Если {a_n} - числовая последовательность, то последовательность {S_n}:

S1 = a1 ;	S1 = a1 ;
S2 = a1 + a2,	S2 = a1 + a2 ;
…	…
n
Sn =  ak = a1 + a2 + a3 +… +an	Sn = Sn-1 + an
k=1

называют последовательностью частичных (конечных) сумм (бесконечного) ряда, который обозначают

_

a₁ + a₂ + a₃ +… +a_n +… , или  a_n,

ⁿ⁼¹

a_n называют общим членом ряда.

Бесконечный ряд, построенный из функциональной последовательности {_n(x)}

_

_n(x) = ₁(x)+₂(x)+… +_n(x)+ …,

называется функциональным рядом.

Размеры конечных сумм могут определяться количеством учитываемых членов (задано n) или требуемой точностью (задано ). В последнем случае добавление новых членов следует прекратить, если | a_n | <Процедура вычисления конечных сумм основана на методе итераций (методе последоввательных приближений).

Для сокращения времени счета при вычислении членов ряда рекомендуется пользоваться рекуррентными соотношениями, т.е. очередной член ряда выражается через предыдущий.

Например,

x³ x⁵ x²ⁱ⁺¹ x²ⁿ⁺¹

sh x  x + --- + --- +… + -------- +… + ---------- ;

3! 5! (2i + 1)! (2n + 1)!

x²ⁱ⁺¹ ____

a_i = -------- , где i = 0, n - i-й член функционального ряда ;

(2i + 1)!

x²ⁱ⁺³ x²ⁱ⁺¹ x²

a_i+1 = -------- или a_i+1 = ------------------------ - ( i + 1 )-й член

(2i + 3)! (2i + 1)! (2i + 2) (2i + 3)

функционального ряда

a_i+1 x²

----- = ---------------- - отношение ( i + 1)-го члена к i-му члену ;

a_i (2i + 2) (2i + 3)

x²

a_i+1 = a_i ---------------- -рекуррентное соотношение.

(2i + 2) (2i + 3)

Примеры решения задач.

Задача 1. Вычислить sin(), используя его представление конечной суммой.

)³ ()⁵ ()²ⁿ⁺¹

sin()  S = …ⁿ --------- ,

 5! (2n + 1)!

где n = 15.

Рекомендация : вычисление sin() организовать следующим образом.

Шаг 1. Присвоить S = , a = , n = 1.

()²

Шаг 2. Присвоить а = - а ------------- , S = S + a, n = n +1.

2n (2n + 1)

Шаг 3. Проверить условие n  15. Если оно выполняется, вернуться к шагу 2, в противном случае считать вычисление sin() завершенным, т.е. sin() = S.

Варианты блок-схем представлены на рисунках 1, а, б.

Задача 2. Вычислить cos(6), используя его представление конечной суммой.

(6)² (6)⁴ (6)²ⁿ

cos(6)  S = 1 - ------ + ------ - … + (-1)ⁿ ------- ,

2! 4! 2n!

с заданной точностью ^-5.

Рекомендация : вычисление cos(6) организовать следующим образом.

Шаг 1. Присвоить S = , a = , n = 1.

(6)²

Шаг 2. Присвоить а = - а ------------- , S = S + a, n = n +1.

2n (2n - 1)

Шаг 3. Проверить условие | a | > . Если оно выполняется, вернуться к шагу 2, в противном случае считать вычисление cos(6) завершенным, т.е. cos(6) = S.

Варианты блок-схем представлены на рисунках 2, а, б.

Примечание. Результаты вывести на печать с соответстующими комментарием.

Например,

. . .

1. 90 PRINT “ ЗНАЧЕНИЕ ФУНКЦИИ ARCCOS ( “ ; Х ; “ ) = “ ; S

100 PRINT “ ПОЛУЧЕНО ПРИ УЧЕТЕ “ ; N ; “ ЧЛЕНОВ ФУНКЦИОНАЛЬНОГО

РЯДА “

. . .

. . .

2. 90 PRINT “ ЗНАЧЕНИЕ ФУНКЦИИ SH ( “ ; Х ; “ ) = “ ;

100 PRINT “ ПОЛУЧЕНО С ТОЧНОСТЬЮ Е = “ ; Е

Индивидуальное задание 2.