- •Исследование функций при помощи производных
- •Условие постоянства функции
- •Четность и нечентность функции
- •Асимптоты
- •Условия монотонности функции
- •Максимум и минимум функции
- •Наибольшее и наименьшее значения функции на отрезке
- •Применение теории max и min в решении задач
- •Выпуклость графика функции. Точки перегиба
- •Асимптоты.
- •4. Асимптоты.
- •Формула Тейлора для произвольной функции
- •Разложения по формуле Маклорена некоторых элементарных функций:
Исследование функций при помощи производных
Основные вопросы:
-
Четность и нечетность функции.
-
Монотонность функции.
-
Асимптоты.
-
Экстремумы.
-
Наибольшее и наименьшее значения функции на отрезке.
-
Выпуклость графика функции. Точки перегиба.
Условие постоянства функции
Теорема. Пусть функция определена и дифференцируема на некотором интервале . Тогда, для того чтобы функция была постоянна на этом интервале, необходимо и достаточно, чтобы ее производная равнялась нулю.
.
y
с
0 a b x
Четность и нечентность функции
Определение. Функция называется четной, если .
Определение. Функция называется нечетной, если .
График четной функции симметричен относительно оси ординат, нечетной – относительно начала координат.
Определение. Функция ни четная, ни нечетная называется функцией общего положения.
Асимптоты
Построение графика функции значительно упрощается, если знать его асимптоты.
Определение. Асимптотами графика функции называются прямые, к которым функция неограниченно приближается при увеличении ее в бесконечность.
y y
0 x
0 x
Асимптоты бывают трех видов:
-
вертикальные асимптоты задаются уравнением вида: .
Определение. Прямая является вертикальной асимптотой графика функции , если .
-
Вертикальная асимптота может возникнуть в точках разрыва 2-го рода.
-
На границах области определения, если она ограничена.
y
Пример.
имеет вертикальную асимптоту в точке , 0
так как
Пример. y
. Следовательно, – 0
вертикальная асимптота.
-
Горизонтальные асимптоты задаются уравнением .
Определение. Прямая является горизонтальной асимптотой графика функции , если .
Пример.
.
Следовательно, при график имеет горизонтальную асимптоту .
Следовательно, при горизонтальной асимптоты нет.
-
Наклонные асимптоты имеют уравнение прямой , где .
Замечание.
При наклонная асимптота вырождается в горизонтальную при условии, что .
Если , то наклонная асимптота вырождается в вертикальную.
Если , то асимптота проходит через начало координат.
Если , то асимптоты не существует.
Пример.
Найдите наклонную асимптоту .
Уравнение наклонной асимптоты будет иметь вид , где
То есть – наклонная асимптота.
Условия монотонности функции
Определение. Функция называется возрастающей на интервале , если .
Определение. Функция называется убывающей на интервале , если .
y y
f(x2) f(x1)
f(x1) f(x2)
0 x1 x2 x 0 x1 x2 x
Определение. Возрастающие и убывающие функции называются монотонными функциями.
Теорема (Необходимые условия). Если дифференцируемая на интервале функция f(x) возрастает, то , если убывает, то .
Теорема (Достаточные условия). Если функция f(x) дифференцируема на интервале и , то эта функция возрастает (или убывает) на интервале .