- •Линии второго порядка на плоскости.
- •8.1. Эллипс. Окружность.
- •8.2. Гипербола.
- •8.3. Парабола.
- •Исследование функций
- •11.1. Признак возрастания и убывания функции.
- •11.2. Экстремум функции. Необходимое и достаточное условие экстремума.
- •11.3. Направления выпуклости, точки перегиба.
- •11.4. Асимптоты.
- •11.5. Исследование функций и построение графиков.
МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ РЕСПУБЛИКИ БЕЛАРУСЬ
УО «БАРАНОВИЧСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ»
УТВЕРЖДАЮ
зав. кафедрой физико-математических дисциплин
_____________Ционенко Д.А.
«__» _________ 20__ г, протокол №
Зимняя экзаменационная сессия
Вопросы к зачету по высшей математике
для студентов первого курса специальности «Маркетинг», «Экономика и управление на предприятии», «Бухгалтерский учёт, анализ и аудит в АПК», «Экономика и управление туристской индустрией»
-
Матрицы. Виды матриц.
-
Операции над матрицами.
-
Минор и алгебраическое дополнение элемента матрицы.
-
Определители, их вычисление и свойства.
-
Элементарные преобразования матрицы.
-
Обратная матрица.
-
Системы линейных уравнений. Матричная запись. Матричный метод решения систем линейных уравнений.
-
Решение систем линейных уравнений методом Крамера.
-
Решение систем линейных уравнений методом Гаусса.
-
Векторы. Основные понятия и определения.
-
Скалярное, векторное, смешанное произведение векторов.
-
Базис. Разложении векторов по базису.
-
Прямая на плоскости. Способы задания прямой.
-
Прямая в пространстве. Способы задания прямой.
-
Плоскость. Способы задания плоскости.
-
Окружность. Эллипс. Гипербола. Парабола.
-
Функция. Основные понятия и определения.
-
Графики и свойства элементарных функций.
-
Понятие предела и его свойства.
-
Методы вычисления пределов.
-
Замечательные пределы и .
-
Производная функции. Правила дифференцирования.
-
Таблица производных элементарных функций.
-
Производная сложной функции. Производная неявной функции и функции, заданной параметрически.
-
Геометрический смысл производной.
-
Правила Лопиталя.
-
Монотонность функции. Критерии монотонности.
-
Критические точкию
-
Экстремумы. Необходимое условие, достаточные условия.
-
Выпуклость. Критерий выпуклости. Перегибы.
-
Нахождение наибольшего и наименьшего значения функции на заданном отрезке.
-
Асимптоты графика функции.
-
Схема исследования функции.
Составил преподаватель кафедры
физико-математических дисциплин Мирошникова Ю.Ф.
Вопросы к экзамену по дисциплине «Высшая математика» для студентов первого курса специальности «Маркетинг», «Экономика и управление на предприятии», «Бухгалтерский учёт, анализ и аудит в АПК», «Экономика и управление туристской индустрией»
-
Понятие n-мерного пространства и типы множеств.
-
Понятие функции нескольких переменных.
-
Частные производные и полный дифференциал первого порядка функции нескольких переменных.
-
Частные производные и полный дифференциал второго порядка функции нескольких переменных.
-
Понятие предела функции нескольких переменных.
-
Экстремум функции нескольких переменных(локальный экстремум).
-
Градиент функции.
-
Условный экстремум.
-
Метод наименьших квадратов.
-
Понятие первообразной и неопределённого интеграла.
-
Неопределенный интеграл и его свойства.
-
Таблица неопределённых интегралов.
-
Основные методы интегрирования(метод замены переменной, интегрирование по частям, непосредственное интегрирование).
-
Интегрирование выражений, содержащих квадратный трёхчлен .
-
Интегрирование тригонометрических и иррациональных функций.
-
Интегрирование рациональных функций.
-
Алгоритм разложения правильной дроби на элементарные.
-
Задача о криволинейной трапеции.
-
Определенный интеграл и его свойства.
-
Основные методы интегрирования определённых интегралов.
-
Приложения определенного интеграла: площадь плоской фигуры.
-
Приложения определенного интеграла: объем тела вращения.
-
Приложения определенного интеграла: длина дуги.
-
Несобственные интегралы.
-
Кратные интегралы.
-
Обыкновенные дифференциальные уравнения: основные понятия и определения.
-
Дифференциальные уравнения с разделяющимися переменными.
-
Однородные дифференциальные уравнения первого порядка.
-
Линейные дифференциальные уравнения первого порядка.
-
Понятие комплексного числа.
-
Линейные однородные дифференциальные уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами.
-
Линейные неоднородные дифференциальные уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами.
-
Числовые ряды: основные понятия и определения.
-
Гармонический ряд.
-
Ряды с положительными членами.
-
Необходимый признак сходимости числового ряда .
-
Сравнительные признаки сходимости числовых рядов.
-
Признаки сходимости числовых рядов: признак Даламбера, признак Коши.
-
Знакочередующиеся ряды. Абсолютная и условная сходимость.
-
Степенные ряды. Радиус и интервал сходимости степенного ряда.
-
Ряд Тейлора.
-
Ряд Маклорена. Разложения функций в ряд Маклорена.
Линии второго порядка на плоскости.
Линии, уравнения которых в прямоугольной систем координат являются уравнениями второй степени, называются линиями второго порядка. К важнейшим линиям второго порядка относятся эллипс, окружность, гипербола и парабола.
8.1. Эллипс. Окружность.
Определение 4.1. Эллипсом называется множество всех точек плоскости, для каждой из которых сумма расстояний до двух данных точек, называемых фокусами, есть величина постоянная, большая чем расстояние между фокусами.
Пусть F1(-c,0) и F2(c,0) ─ фокусы. Тогда F1F2 = 2c ─ фокусное расстояние (рис.4.1). Постоянную величину, о которой идёт речь в определении эллипса, обозначим 2a.
Пусть M(x,y) ─ произвольная точка эллипса. Тогда по определению F1M + F2M = 2a > 2c, откуда a > c.
Так как F1M = , F2M = , то имеем уравнение + = 2a.
Преобразуем это уравнение:
()2 = (2a − )2 ,
(x2 + 2cx + c2) + y2 = 4a2 – 4a+ (x2 – 2cx + c2) + y2,
a = a2 – cx.
Возводя в квадрат последнее уравнение, имеем
a2(x2 – 2cx + c2 + y2) = a4 – 2cxa2 + c2x2,
(a2 – c2)x2 + a2y2 = a2(a2 – c2).
Так как a > c, то a2 – c2 > 0 и можем обозначить b2 = a2 – c2. Тогда
b2x2 + a2y2 = a2b2,
= 1 (1)
Таким образом, координаты любой точки эллипса удовлетворяют уравнению (1).
Покажем обратное: если координаты точки M(x,y) удовлетворяют уравнению (1), то точка M лежит на эллипсе.
Из (1) найдём y2 : y2 = b2(1 - ).
Тогда F1M = = = == = = ││
Т.к. c < a и из (1) ≤ 1, т.е. x2 ≤ a2 , │x│ ≤ a, то . Следовательно,
││= .
Аналогично можно вычислить
F2M = .
Теперь
F1M + F2M = .
Из уравнения (1) : b2 > 0 a2 – c2 > 0, т.е. a > c, откуда 2a > 2c. Значит, точка M лежит на эллипсе.
Уравнение (1) называется каноническим уравнением эллипса. Изображён эллипс с уравнением (1) на рис 4.2.
Точки пересечения эллипса с осями координат называются вершинами эллипса. Оси симметрии эллипса (оси Ox и Oy) называют осями эллипса. Точка пересечения осей ─ центр эллипса. Осями называют также отрезки A1A, B1B. Отрезки OA, OB и их длины называют полуосями. В нашем случае a > b, поэтому а называют большой полуосью, b ─ малой полуосью. Эксцентриситетом эллипса называется отношение фокусного расстояния к длине большой оси, т.е.
ε = .
Так как 0 c < a, то 0 ε < 1. Фокальными радиусами точки M называют отрезки F1M и F2M. Их длины r1 и r2 вычисляют по формулам
r1 = a + εx,
r2 = a – εx.
Уравнение (1) можно рассматривать и в случае, когда b > a, оно определяет эллипс с большой полуосью OB = b, фокусы такого эллипса лежат на оси Oy, причём a2 = b2 – c2.
В случае, когда a = b, уравнение (1) принимает вид
= 1 или x2 + y2 = a2
и определяет окружность радиуса а с центром в начале координат (рис.4.3). В этом случае c = 0, поэтому ε = 0.
Из школьного курса известно уравнение окружности радиуса R с центром в точке A0(x0,y0):
(x – x)+(y – y)=R.
Такое уравнение называют каноническим уравнением окружности.