- •Учебно-методическое пособие по дисциплине «Высшей математике» для студентов-заочников 1-го курса
- •1.Основные формулы.
- •2. Прямая в пространстве
- •3. Прямая и плоскость в пространстве
- •4. Матрицы и определители
- •5. Системы линейных алгебраических уравнений
- •6. Линейное векторное пространство. Базис и размерность линейного пространства.
- •4.2. Производная и дифференциал. Основные определения и свойства.
- •Производные основных элементарных функций
- •4.3. Приложения производной § Правило Лопиталя-Бернулли
- •7. Вопросы к зачету По дисциплине «Высшая математика»
6. Линейное векторное пространство. Базис и размерность линейного пространства.
… Векторы называются линейно зависимыми, если существуют действительные числа …, (из которых по меньшей мере одно отлично от нуля), такие, что
(*)
в противном случае (т.е. когда таких чисел не существует) векторы называются линейно независимыми; другими словами, векторы линейно независимы, если равенство (*) выполняется лишь при
Множество линейно независимых векторов называется базисом. Число векторов в базисе называется размерностью.
Пример 10. Показать, что векторы и образуют базис линейного векторного пространства и найти разложение вектора d в этом базисе:
Решение. Векторы и образуют базис тогда, когда выполнится условие
при условии, что
решая эту систему, получим, что значит и образуют базис. Найдем разложение вектора базисе
Решая эту систему, получаем: х = 80, у = -62, Z = - 16, а вместе с этим и разложение вектора
Итак, координаты вектора в базисе и равны 80, -62, -16.
Пример 11. По координатам точек найти: А(-5; 1; 6), В(1; 4; 3), С(6; 3; 9)
а) модель вектора
==
б) скалярное произведение векторов
и
в) проекцию вектора на вектор
пр
г) координаты точки делящей отрезок в отношении 1 : 3;
Следовательно:
(см. замечание)
Замечание! Деление отрезка в данном отношении. Даны две точки в пространстве и . Найти координаты точки М, делящей отрезок в отношении
По определению где и величины направленных отрезков и оси, проходящей через точки и поэтому =
Координаты точки М находятся по формулам
В частности, координаты середины отрезка определяются формулами
Задача. Предприятие производит изделия и За рассматриваемый промежуток времени плановый выпуск характеризуется вектором х = (10; 7; 4). Для изготовления изделий используется сырье и В таблице приведены нормы расхода сырья на единицу каждого изделия. Вектор С = (7; 4; 5; 10; 2) задает стоимость единицы сырья каждого вида, а вектор Т = (3; 2; 3; 6; 3) – стоимость перевозки единицы сырья каждого вида.
-
№
п/п
Изделие
Расход сырья
1
5
10
3
9
2
2
4
8
5
6
8
3
6
6
12
4
3
-
Сколько единиц сырья каждого вида потребуется для выполнения плана?
-
Установить стоимость сырья, расходуемого на единицу изделия каждого вида.
-
Определить стоимость сырья, необходимого для выполнения плана.
-
Найти стоимость всего сырья с учетом его транспортировки.
Решение. Обозначим через А матрицу норм расхода сырья на единицу каждого изделия:
через у – матрицу строку (вектор), характеризующую количество сырья каждого вида, требуемого для выполнения плана, тогда у =
Проведем вычисления:
.
Теперь можно вычислить стоимость сырья, расходуемого на единицу изделия i –го вида, обозначив ее матрицей-столбцом z =
Таким образом, стоимость единицы изделия задается матрицей
Z = (184; 161; 160)
Следовательно, стоимость всего сырья, необходимого для выполнения плана, можно вычислить по формуле
Для того, чтобы вычислить стоимость всего сырья с учетом его транспортировки, посчитаем сначала, во что обойдется его транспортировка, используя формулу
Следовательно, все расходы составят:
Задача.
4.1. Пределы. Основные формулы
-
Свойства пределов
-
(f(x) (x))=f(x) (x)
-
fx · x=
-
c · f(x) = c ·f(x) где с = const
-
(f (x))n = ( f (x))n
-
=
-
Первый замечательный предел
в частности
3. Второй замечательный предел
если то в частности
4. При нахождении пределов вида =С, нужно иметь в виду следующее:
1) если существуют конечные пределы
2) если то предел находится с помощью формул:
а) если то
б) если
3) если то полагают где при и следовательно
5. Чтобы раскрыть неопределенность вида , заданную отношением двух многочленов, надо в числителе и в знаменателе выделить критический множитель (т.е. множитель, равный нулю при предельном значении х) и сократить на него.
Пример. Найти
Решение. При х = 1 числитель и знаменатель обращаются в нуль, получается неопределенность вида. Преобразуем данную функцию, разлагая на множители числитель и знаменатель по формуле где - корни уравнения
6. Чтобы раскрыть неопределенность вида , заданную отношением двух многочленов, надо числитель и знаменатель разделить на самую высокую входящую в них степень х, а затем перейти к пределу.
Пример. Найти
Решение. При числитель и знаменатель неограниченно увеличиваются (получаем неопределенность вида ). Разделим числитель и знаменатель на , т.е. на старшую степень х. Получим:
Здесь принято во внимание, что , , .
7. Чтобы раскрыть неопределенность вида , в которой числитель и знаменатель содержат иррациональность, следует соответствующим образом избавится от иррациональности.
Пример. Найти
Решение При х = 3 числитель и знаменатель дроби обращаются в нуль. Избавимся от иррациональности в знаменателе, умножая числитель и знаменатель на .
=
Пример. Найти
Решение Так как то
Пример. Найти
Решение. Так как и то
Пример. Найти
Решение. Это предел вида , где На основании формул 4 имеем , т.е. предел вида ; в соответствии с третьим случаем из формул 4 имеем
℮= ℮= ℮=
℮= ℮= ℮