Теоретический материал

Основное уравнение динамики материальной точки (второй закон Ньютона):

.

Это же уравнение в проекциях на касательную и нормаль к траектории движения точки:

.

Третий закон Ньютона:

F₁₂= -F₂₁,

где F₁₂ и F₂₁ – силы, с которыми рассматриваемые материальные точки действуют друг на друга.

Пример решения задачи.

В системе массы тел равны m_0, m_1, m_2, трения нет, массы блоков и нитей пренебрежимо малы. Найти ускорение тела m₁. Исследовать возможные случаи.

Дано:

m₀, m_1, m₂

F_тр = 0

_______________________

а₁-? Исследовать решение.

N₀

X

Рeшение

Т.к. движение всех тел, имеющихся в задаче, поступательное, то каждое тело можно представить как материальную точку, и все силы, действующие на тело, привести к одной точке. Все тела системы движутся с разными ускорениями и для нахождения ускорения тела m₁ необходимо записать уравнения движения для каждого. Напомним, что блок, если его масса пренебрежимо мала, изменяет только направление силы.

В проекции на ось X уравнения движения будут иметь вид:

m₀a₀=T₀

m₁a₁=m₁g – T₁

m₂a₂=m₂g – T₂.

У нас три уравнения, а шесть неизвестных (a₀, a₁, a₂, T₁, T₂, T₀). Необходимо еще три уравнения.

В соответствии с выше сказанным относительно блока T₁=T₂. Далее T₀=T₁+T₂. Последнее уравнение получим, учитывая “связи”, а именно, что нить между телами m ₁ и m₂ не изменяет длины. В соответствии с принятыми на рисунке обозначениями имеем: X₂ - X_б + X₁ - X_б = L, где L – длина нити, а X₂, X₁, X_б, – координаты второго, первого тел и блока соответственно. Дифференцируя дважды это уравнение во времени, получим: а₁ + а₂=2а_б. Но ускорение блока равно ускорению тела m₀, т.е. а₁ + а₂=2а₀.

Теперь мы имеем полную систему из шести уравнений с шестью неизвестными, откуда определим а₁.

.

Исследуем возможные случаи.

1. m₁»m₂

,

т.е. в этом случае ускорение тела m₁ независимо от массы тела m₀ равно g и направлено вниз.

2. m₂» m₁

.

В этом случае ускорение тела m₁ может принимать разные значения, в зависимости от m₀:

а) при m₀ < 4m₁ a₁>0, т.е. направлено вниз и при 4m₁»m₀ равно g .

б) при m₀ = 4m₁ ускорение a₁=0.

в) при m₀ > 4m₁ ускорение тела m₁ отрицательно, т.е. направлено вверх и при m₀ » 4m₁ равно g.

Список задач.

2.1. В установке (рис. 2.2) массы тел равны m_o , и m₂ и m₃, массы блока и нитей пренебрежимо малы и трения в блоке нет. Найти ускорение, с которым опускается тело m_o , и натяжение нити связывающей тела m₂ и m₃ , если коэффициент трения между этими телами и горизонтальной поверхностью равен k. Исследовать возможные случаи.

Рис.2.2 Рис.2.3

Ответ: а = g(m₀ - k(m₂ + m₃))/(m₀+ m₂ + m₃), T = m₃g(1 + k)m₀/(m₀ + m₂ + m₃)

2.2. На наклонную плоскость, составляющую угол  с горизонтом, поместили два соприкасающихся бруска 1 и 2 (рис.2.3). Массы брусков равны m₁ и m₂, коэффициенты трения между наклонной плоскостью и этими брусками - соответственно k₁ и k₂, причем k₁ > k₂. Найти: а) силу взаимодействия между брусками в процессе движения; б

) минимальное значение угла , при котором начнется скольжение.

Ответ: a) F = (k₁- k₂)m₁m₂g cos/(m₁+ m₂); б) tg_мин = (k₁m₁+ k₂m₂)/(m₁+ m₂).

2.3. Небольшое тело А начинает скользить с вершины клина, основание которого l = 2,10 м (рис.2.4). Коэффициент трения между телом и поверхностью клина k = 0,140. При каком значении угла α время соскальзывания будет наименьшим? Чему оно равно?

Рис. 2.4 Рис.2.5

Ответ: tg2 = -1/k,  = 49⁰; t_мин = 1,0 c.

2.4. На небольшое тело массы m, лежащее на гладкой горизонтальной плоскости, в момент t = 0 начала действовать сила, зависящая от времени по закону F = bt, где b - постоянная. Направление этой силы все время составляет угол  с горизонтом (рис. 2.5). Найти: а) скорость тела в момент отрыва от плоскости; б) путь, пройденный телом к этому моменту.

Ответ: a) v = mg²cos/2bsin²; б) s = m²g³cos/6b²sin³

2.5. Частица массы m в момент времени t = 0 начинает двигаться под действием силы F = F₀sint, где F₀,  - постоянные. Найти путь, пройденный частицей, в зависимости от t.

Ответ:

2.6. Шайбу положили на наклонную плоскость и сообщили направленную вверх начальную скорость v₀. Коэффициент трения между шайбой и плоскостью равен k. При каком значении угла наклона α шайба пройдет вверх по плоскости наименьшее расстояние? Чему оно равно?

Ответ:

2.7. Найти ускорения стержня A и клина B в установке (рис.2.6), если отношение массы клина к массе стержня равно  и трение между всеми соприкасающимися поверхностями пренебрежимо мало.

Рис. 2.6 Рис. 2.7

Ответ: a_A = g/ (1 +  ctg²), a_B = g/(tg  + ctg ).

2.8. Небольшое тело A начинает скользить с вершины гладкой сферы радиуса R. Найти угол θ (рис.2.6), соответствующий точке отрыва тела от сферы, и скорость тела в момент отрыва.

Ответ: θ = arccos (2/3)  48⁰, v =.

2.9. Тело массы m бросили под углом к горизонту с начальной скоростью v₀. Пренебрегая сопротивлением воздуха, найти: а) приращение импульса p тела за первые t секунд движения; б) модуль приращения импульса p тела за все время движения.

Ответ: a) p = mgt; б) p= -2m (v₀g)/g.

2.10. На горизонтальной плоскости с коэффициентом трения k лежит тело массы m. В момент t = 0 к нему приложили горизонтальную силу, меняющуюся со временем по закону F = bt, где b - постоянный вектор. Найти путь, пройденный телом за первые t секунд после начала действия этой силы.

Ответ: s = b(t – t₀)³/(6m), где t₀ = kmg/b - момент времени, с которого начнется движение. При t  t₀ путь s = 0.

3. З А К О Н С О Х Р А Н Е Н И Я И М П У ЛЬС А