Тема 9. Вычисление пределов с помощью производной. №1. Вычислить пределы: а) ; б) ; в) ; г) ; д) ; е) ; ё) ; ж) ; з) .

Тема 10. Исследование функций. а) Исследование по отдельным факторам. №1. Найти асимптоты кривой у = . №2. Найти интервалы монотонности функции у = х ³ – 6х ² – 15х + 2. №3. Найти экстремумы функции у = х . №4. Найти интервалы выпуклости и точки перегиба графика функции у = 0,5х ³ + 3х ² – 18х + 20.

б) Полное исследование. №5. Построить графики функций: а) у = ; б) у = 3 - х; в) у = х ²; г) у = х ln; д) х arctg х.

Тема 11. Функции многих переменных. а) Область определения. №1. Найти области определения функций и изобразить их графически: а) z = ; б) z = arcsin (х + у).

б) Частные производные. №2. Найти частные производные функций: а) z = х ² + 3х - у + ; б) z = arcsin . №3. Найти вторые частные производные функций: а) z = 3х ² + 2ху ² – 4ху + х ²у – у ³; б) и = sin . в) Дифференциал. №4. Записать дифференциал функции z = 2х ² – ху + 3у ³. №5. Вычислить с помощью дифференциала приближённое значение . №6. Вычислить, на сколько процентов приближённо изменится спрос, описываемый функцией q = 5474, где п – число производителей товара, р – цена товара, если число производителей товара уменьшится на 1, а цена возрастёт на 1%. На рынке имеется 7 производителей, цена товара составляет 3 единицы.

г) Производная по направлению. №7. Найти производную функции z = х ³у – 5ху ² + 8 по направлению вектора l = {1; 1} в точке М (1; 1). №8. Найти производную функции и = ln (x ² + y ² + z ²) в точке М (1; 2; 1) по направле- нию вектора MN, где N (3; 6; 5). №9. Построить линии уровня функции z = 4 – х ² – у ². Найти градиент функции z в то- чке М₀ (1; 2) и его модуль.

Тема 12. Экстремальные задачи. а) Наибольшее и наименьшее значения функции одной переменной. №1. Найти наименьшее и наибольшее значения функций: а) у = х ⁴ – 2х ² + 3 на отрезке [- 3; 2]; б) у = х ² – 2х + х – 4 на отрезке [0; 4]. №2. Если собрать урожай в начале августа, то с каждой сотки можно получить 200 кг раннего картофеля и реализовать его по 12 руб. за килограмм. Отсрочка уборки на каждую неделю ведёт к увеличению урожайности на 50 кг с одной сотки, но цена картофеля за килограмм при этом падает на 2 руб. Когда следует собрать картофель, чтобы доход от его продажи был максимальным, если срок уборки составляет 5 недель? №3. Издержки производства некоторого товара равны С = 4 + 15q, спрос на товар определяется функцией р = - q ² + 20q + 2; 10 < q < 20. Найти объём продукции q, макси- мизирующий прибыль. б) Экстремумы функций многих переменных. №4. Найти экстремумы функций:

а) z = х ² – ху + у ² + 9х – 6у + 20; б) z = (2х ² + у ²).

в) Наибольшее и наименьшее значения функции нескольких переменных. №5. Найти наименьшее и наибольшее значения функции z = 3х ² – х ³ + 3у ² + 4у в области х ² + у ² ≤ 1.

г) Условный экстремум. №6. Найти условные экстремумы функции z = х ² + у ² – ху + х + у – 4 при х + у + 3 = 0. №7. Предприниматель решил выделить на расширение своего дела 150 тыс. руб. Из- вестно, что если на приобретение нового оборудования затратить х тыс. руб., а на зарплату вновь принятых работников у тыс. руб., то прирост объёма продукции соста-вит Q = 0,001х ^0,6у ^0,4. Как следует распределить выделенные денежные ресурсы, чтобы прирост объёма продукции был максимальным?