14. Формула Ньютона-Лейбница.

Если ф-ция f(х) непрерывна на [a,b] и ф-я F(x) какая-либо первообразная для f(x) на отрезке[a,b] то справедлива формула

.

Док-во:

пусть F(x)первообразная для f(x) на отрезке [a,b], ф-ция Ф(х) так же явл.первообразной. по теореме о множестве первообразных имеем Ф(х)-F(x)=C. Подставим в последнее рав-во вместо х сначала а, потом b=х получим:

Ф(а)-F(a)=C Ф(b)-F(b)=C Ф(а)=∫_a^a f(x)dx=0 Ф(b)=∫_a^b f(x)dx

Имеем C=-F(a) ∫_a^b f(x)dx+F(a)=F(b) ∫_a^b f(x)dx=F(b)-F(a)

15. Длина дуги плоской кривой.

Пусть некот. линия y=f(x), где f(x) – дифф. на отрезке [a; b]

y(k-1) M(k-1)

M1

yk A Mk

M(n-1) B

a=x0 x1 x2 xk x(n-1) b=xn

- длина дуги АВ

16. Несобственный интеграл 1-го и 2-го рода.

Несобственный интеграл 1-го рода назыв. : (1)

Если пердел в (1) сущ-ет. и конечен, то интеграл от [а; + ) f(x)dx назыв. сходящимся в противном случае – расход.

Несобственный интеграл 2-го рода: Пусть f(x) – непр на [a; b] и , то несобств. интеграл 2-го рода. назыв.: (2)

Если пердел в (2) сущ-ет. и конечен, то интеграл от он сходящийся в противном случае – расход.

17. Понятие функции нескольких переменных.

Пусть имеется 2 непустых множества: DR(в квадрате),UR. Если каждой паре чисел (x,y)Dy; по некоторому правилу поставлен в соответствии 1 единственный элемент из множества U, то говорят, что на множестве D задана функция со значениями во множестве U, при этом пишут, что f: DU. Множество D называется областью определения функции, множество U, состоящее из чисел f(x,y), где пара (x,y)D ,называется областью значений функции. Функциональная зависимость: U=f(x,y). Аналогично определяется функция нескольких переменных. Областью определения 2-х переменных может быть плоскость, часть плоскости, ограниченная некоторой замкнутой прямой, либо совокупность нескольких частей плоскости.

18. Предел функции нескольких переменных в точке и его свойства.

Число А называется пределом функции f(x,y), при xxo, yyo, если для любой последовательности точек (xn,yn), сходящейся к точке (xо,yо), но не равной (xо,yо), соответствующая последовательность значений функции f(xn,yn) сходится к числу А. f(xn,yn)A

Св-ва:

1. арифметические операции

2. Если ф-я f имеет предел в т. Ро, то она ограничена в некот. Ебселент-окрестности т. Ро

3. Если , то сущ. такая Ебселент-окрестность т.Ро, к кот. f(P)>0 (<0).

19. Непрерывность функции нескольких переменных в точке и его свойства.

Функция f(Pn) называется непрерывной в точке Po, если . Непрерывна на мн-ве D , еслиона непрерывна в каждой т., этого мн-ва.

Св-ва:

1. сумма произведения и частное (если делитель ≠0) есть непрер. функции

2. f непрер. на огран. замкнутом мн-ве принимает на этом мн-ве своё наим. и наиб. знач-е

3. f непрер. на огран. замкнутом мн-ве и принимает на этом мн-ве любое знач-е, заключ. м/д m и M.