УЧРЕЖДЕНИЕ ОБРАЗОВАНИЯ
«БАРАНОВИЧСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ»
КАФЕДРА ФИЗИКО-МАТЕМАТИЧЕСКИХ ДИСЦИПЛИН
ИНЖЕНЕРНЫЙ ФАКУЛЬТЕТ
УЧЕБНО-МЕТОДИЧЕСКИЙ КОМПЛЕКС
для обеспечения
контролируемой самостоятельной работы студентов (КСР)
по учебной дисциплине «Высшая математика»
Для специальности
1-25 01 08 «Бухгалтерский учет, анализ и аудит в агро промышленном комплексе»
1-26 02 03 «Маркетинг»
1-25 01 07 «Экономика и управление на предприятии агропромышленного комплекса»
1-25 01 13 «Экономика и управление туристской индустрией»
1-й курс
Всего КСР — 2 часа, 1 семестр Материалы подготовлены
Лекция — 2 часа Гурской О.В., преподавателем
Кафедры
(в соответствии с Положением о
контролируемой самостоятельной работе
студентов БарГУ, утвержденным
18.08.2009 № 341)
Барановичи 2011
СОДЕРЖАНИЕ
1. Элементы аналитической геометрии в пространстве (2 часа).
ИНФОРМАЦИОННО-МЕТОДИЧЕСКАЯ ЧАСТЬ
ТЕМА: ЭЛЕМЕНТЫ АНАЛИТИЧЕСКОЙ ГЕОМЕТРИИ В ПРОСТРАНСТВЕ
Цель КСР:
– овладение учебным материалом дисциплины в объеме, требуемом учебной программой;
– формирование навыков самообразования в учебной, научной, производственной и управленческой деятельности;
– развитие учебных способностей, умений, навыков и принятия самостоятельных решений в профессиональной деятельности.
Вопросы для изучения:
-
Основные виды уравнений плоскости в пространстве.
-
Взаимное расположение двух плоскостей.
-
Прямая в пространстве.
-
Взаимное расположение прямых в пространстве.
-
Взаимное расположение прямой и плоскости.
-
Поверхность второго порядка.
Методические указания:
1. Изучите предлагаемые вопросы по литературным источникам и лекции.
2. Составьте краткий конспект.
3. Ответьте на вопросы для самоконтроля.
ТЕМА: ЭЛЕМЕНТЫ АНАЛИТИЧЕСКОЙ ГЕОМЕТРИИ В ПРОСТРАНСТВЕ
. Плоскость и прямая в пространстве
1. Общее уравнение плоскости.
Пусть дана точка , лежащая в плоскости и ненулевой вектор , перпендикулярный к плоскости и называемый нормальным вектором плоскости
Пусть произвольная точка плоскости . Тогда вектор плоскости ортогонален вектору , т.е.
или
.
Очевидно, условию удовлетворяют координаты тех и только тех точек пространства, которые принадлежат плоскости . Поэтому они являются искомыми уравнениями плоскости, причем называется уравнением плоскости в векторной форме. Уравнение можно привести к виду
,
где . Уравнение называется общим уравнением плоскости с нормальным вектором . Верно и обратное, т.е. любое уравнение вида (1.4.22), где , определяет плоскость с нормальным вектором .
Упражнение. Докажите последнее утверждение.
2. Уравнение плоскости, параллельной двум данным векторам.
Пусть даны два неколлинеарных вектора и , параллельных плоскости , проходящей через данную точку .
Пусть – произвольная точка принадлежащая . Тогда векторы и и компланарны, т.е. их смешанное произведение равно нулю:
или в координатной форме:
.
3. Уравнение плоскости, проходящей через три точки.
Пусть даны три точки , ,, принадлежащие искомой плоскости . Тогда векторы и очевидно, параллельны этой плоскости. Используя уравнение (1.4.24), получим искомое уравнение плоскости
.
4. Нормальное уравнение плоскости. Расстояние от точки до плоскости. Отклонение.
Пусть – единичный вектор нормали к плоскости , проведенный к плоскости из начала координат. Тогда .
Если – произвольная точка плоскости с радиус-вектором , то при любом положении точки на плоскости выполняется , где – длина перпендикуляра , т.е.
.
Переходя к координатной форме записи, получим:
.
Уравнение называется нормальным уравнением плоскости. Если плоскость задана общим уравнением, то разделив обе его части на , где знак перед корнем выбирается противоположным знаку , мы приведем общее уравнение к нормальному виду, т.е. к виду . Множитель называется нормирующим множителем уравнения плоскости.
Пусть есть произвольная точка пространства . Легко видеть, что , где – расстояние от точки до плоскости , а знак перед выбирается в зависимости от того, где находится точка – по одну сторону от плоскости с началом координат или по разные. Таким образом, искомое расстояние или
,
т.е. расстояние от точки до плоскости равно абсолютной величине результата подстановки координат точки в левую часть нормального уравнения плоскости.
Величина называется отклонением точки от плоскости . При этом , если точки и лежат по разные стороны от плоскости, и , если по одну. Очевидно, .
5. Каноническое уравнение прямой в пространстве.
Пусть заданы точка и ненулевой вектор . Составим уравнение прямой , проходящей через точку параллельно вектору .
Если – произвольная точка прямой то, очевидно, вектор коллинеарен вектору , т.е.
.
Равенство (1.4.29) и есть каноническое уравнение прямой в пространстве.
6. Параметрические уравнения прямой.
Если в (1.4.29) положить, что все соответствующие координаты произвольного вектора прямой и направляющего вектора пропорциональны с коэффициентом пропорциональности , то получим
или
Это и есть параметрические уравнения прямой в пространстве.
7. Прямая в пространстве как линия пересечения двух плоскостей.
Всякие две пересекающиеся плоскости и заданные уравнениями
определяют в пространстве прямую линию , линию их пересечения.
Возникает вопрос: как от общих уравнений прямой и перейти к каноническим уравнениям вида. Для этого нам надо иметь точку и вектор , параллельный . Очевидно, вектор параллельный , будет ортогонален и . Значит, вектор можно найти посредством векторного произведения :
Координаты любой точки , принадлежащей можно найти как решение системы уравнений и , положив, скажем, . Найдя эту точку, по формуле составим искомое уравнение прямой в каноническом виде:
.