МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ

ФЕДЕРАЦИИ

ЮЖНЫЙ ФЕДЕРАЛЬНЫЙ УНИВЕРСИТЕТ

ТЕХНОЛОГИЧЕСКИ ИНСТИТУТ

ЮЖНОГО ФЕДЕРАЛЬНОГО УНИВЕРСИТЕТА в г. ТАГАНРОГЕ

Факультет автоматики и вычислительной техники

Кафедра Математического обеспечения и применения ЭВМ

Курсовая работа

по дисциплине «Компьютерная графика»

«Синтез фрактальных изображений»

Выполнил:

студент группы А-89

Кудухов Владислав

Проверил:

доцент кафедры МОП ЭВМ

Селянкин В. В.

Аннотация

В рамках данной работы были рассмотрены виды фрактальных изображений и методы их ручного и программного построения. Работа содержит описание фрактальных фигур, иллюстрации с примерами построенных фракталов, а также подробное описание способов их построения. В приложении к работе приведен фрагмент исходного кода программы, реализующий описанные в работе алгоритмы.

Оглавление

Аннотация 2

1 Постановка задачи 4

2 Введение 5

3 Алгоритмы построения фракталов 6

3.1 Кривая Коха 6

Построение: 6

Свойства: 6

3.2 Кривая дракона 7

Построение 7

3.3 Множество Кантора 8

Построение 8

Свойства 8

3.4 Ковер Серпинского 9

Построение 9

Свойства 9

3.5 Дерево Пифагора 11

Построение 11

Свойства 11

3.6 Круговой фрактал 13

Построение 13

4 Описание программного продукта 14

4.1 Программно-аппаратные требования 14

4.2 Язык или среда программирования 14

4.3 Входные и выходные данные 14

4.4 Структура программы 14

4.5 Описание структурных элементов программы 15

4.5.1 Основная форма 15

4.5.2 Дочерняя форма 15

4.6 Инструкция пользователю 16

4.7 Описание интерфейса 17

5 Заключение 21

6 Список литературы 22

7 Приложение 23

1 Постановка задачи

Создать программу (редактор), позволяющую синтезировать изображения, построенные на фракталах. Предусмотреть использование различных методов генерации фрактальных изображений.

Входные данные:

1. Координаты начальных точек фрактала на 0-й итерации (разные для каждого фрактала)

2. Тип фрактала

3. Глубина фрактала

Выходные данные:

1. Изображение с фракталом по заданным параметрам

2. Файл .bmp и изображением фрактала (опционально)

2 Введение

Фракталом (лат."fractus" – дроблёный, сломанный, разбитый) называют сложную геометрическую фигуру, обладающую свойством самоподобия, т.е. составленной из нескольких частей, каждая из которых подобна целой фигуре. В более широком смысле под фракталами понимают множества точек в евклидовом пространстве, имеющие промежуточную (дробную) метрическую размерность (размерность Хаусдорфа).

Размерность Хаусдорфа – естественный способ определить размерность множества в метрическом пространстве. Размерность Хаусдорфа согласуется с нашими обычными представлениями о размерности в тех случаях, когда эти обычные представления есть. Например, в трёхмерном евклидовом пространстве хаусдорфова размерность конечного множества равна нулю, размерность гладкой кривой – единице, размерность гладкой поверхности – двум и размерность множества ненулевого объёма – трём.^[1]

Фракталы бывают нескольких типов:

• Геометрические фракталы – самый наглядный класс фракталов. В двухмерном пространстве их получают с помощью некоторой ломаной (или поверхности в трехмерном пространстве), называемой генератором. За один шаг алгоритма каждый из отрезков, составляющих ломаную, заменяется на ломаную-генератор, в соответствующем масштабе. В результате бесконечного повторения этой процедуры, получается геометрический фрактал.

• Алгебраические фракталы – это самая крупная группа фракталов. Получают их с помощью нелинейных процессов в n-мерных пространствах. Наиболее изучены двухмерные процессы. Интерпретируя нелинейный итерационный процесс как дискретную динамическую систему, можно пользоваться терминологией теории этих систем: фазовый портрет, установившийся процесс, аттрактор и т.д. Известно, что нелинейные динамические системы обладают несколькими устойчивыми состояниями. То состояние, в котором оказалась динамическая система после некоторого числа итераций, зависит от ее начального состояния. Поэтому каждое устойчивое состояние (или как говорят - аттрактор) обладает некоторой областью начальных состояний, из которых система обязательно попадет в рассматриваемые конечные состояния. Таким образом, фазовое пространство системы разбивается на области притяжения аттракторов. Если фазовым является двухмерное пространство, то, окрашивая области притяжения различными цветами, можно получить цветовой фазовый портрет этой системы (итерационного процесса). Меняя алгоритм выбора цвета, можно получить сложные фрактальные картины с причудливыми многоцветными узорами. Неожиданностью для математиков стала возможность с помощью примитивных алгоритмов порождать очень сложные нетривиальные структуры.

• Стохастические фракталы являются ещё одним известным классом фракталов, которые получаются в том случае, если в итерационном процессе случайным образом менять какие-либо его параметры. При этом получаются объекты очень похожие на природные - несимметричные деревья, изрезанные береговые линии и т.д. Двумерные стохастические фракталы используются при моделировании рельефа местности и поверхности моря.^[2]

Кроме этих существуют так же:

• Рукотворные фракталы

• Природные фракталы

• Детерминированные фракталы

• Недетерминированные фракталы

В рамках данного курсового проекта будет рассмотрено несколько видов геометрических фракталов, а именно: Кривая Коха, Ломаная (кривая) дракона, Множество Кантора, Ковер Серпинского, Дерево Пифагора, Круговой фрактал.