Министерство образования и науки Российской Федерации
Саратовский государственный технический университет
Балаковский институт техники, технологии и управления
Высшая математика
Методические указания к выполнению контрольных заданий
для студентов-заочников
специальности «Химическая технология»
полной и сокращенной формы обучения
Одобрено
редакционно-издательским советом
Балаковского института техники,
технологии и управления
Балаково 2011
РЕКОМЕНДАЦИИ ПО ВЫПОЛНЕНИЮ И ОФОРМЛЕНИЮ КОНТРОЛЬНЫХ РАБОТ.
Перед выполнением контрольного задания студент должен изучить соответствующие разделы курса по учебным пособиям в разделе «Литература» настоящих методических указаний. В начале каждой контрольной работы номера необходимых для этой работы пособий указываются в квадратных скобках. В методических указаниях даются также некоторые начальные теоретические сведения и приводятся решения типовых примеров.
Задачи контрольной работы выбираются из таблицы вариантов, помещенной в конце методического пособия, согласно тому варианту, номер которого совпадает с последней цифрой учебного номера (шифра) студента. Контрольную работу следует выполнять в тетради (отдельной для каждой работы) чернилами любого цвета, кроме красного, оставляя поля для замечаний рецензента. В заголовке работы должны быть ясно написаны фамилия студента, его инициалы, учебный номер (шифр), номер контрольной работы. Заголовок работы надо поместить на обложке тетради; здесь же следует указать дату отсылки работы в институт и адрес студента. Решения задач располагать в порядке номеров, указанных в заданиях, сохраняя номера задач. Перед решением каждой задачи надо полностью выписать ее условие. В том случае, когда несколько задач имеют общую формулировку, следует, переписывая условие задачи, заменить общие данные конкретными соответствующего номера. Решения задач излагать подробно и записывать аккуратно, объясняя все действия и делая необходимые чертежи. После получения прорецензированной работы (как не зачтенной, так и зачтенной) студент должен исправить в ней все отмеченные ошибки и недочеты.
При высылаемых исправлениях должна обязательно находиться прорецензированная работа и рецензия на нее. В связи с этим рекомендуется при выполнении контрольной работы оставлять в конце тетради несколько чистых листов для всех исправлений и дополнений в соответствии с указаниями рецензента.
Контрольная работа № 1.
Аналитическая геометрия. Элементы векторной и
линейной алгебры.
Л и т е р а т у р а: [1], гл.III, IX, X; [2], §1-6, § 7-13; [4], гл. VII, § 1-5; [5], гл. I, II, III; [6], гл. I, II, III.
1.Совокупность чисел, расположенных в виде прямоугольной таблицы из m строк и n столбцов, называется матрицей.
Обозначают матрицу буквами А,В,С,…
Матрица размером m x n.
а11,а12,…,аmn-элементы матрицы.
Коротко записывают так: А=(аij), где i-номер строки, j-номер столбца. Матрица размера n x n называется квадратной матрицей n-го порядка.
Элементы a11,a22,…,аnn образуют главную диагональ матрицы, элементы аm1,аm-1,2…,а1,n-побочную диагональ матрицы. Матрица А=(а11,а12,…,а1n) называется матрицей-строкой размером 1 х n.
Матрица - матрица-столбец размером m x 1.
Квадратная матрица - называется единичной матрицей.
Матрица Ат, которая получается из данной матрицы А заменой строк столбцами, называется транспонированной к А:
Произведением матрицы А=(аij), имеющей m строк и k столбцов, на матрцуВ=(вij), имеющую k строк и n столбцов, называется матрица С=АВ=(сij), имеющая m строк и n столбцов, каждый элемент сij которой равен сумме произведений элементов i-й строки матрицы А и j-го столбца матрицы В:
Сij=аi1в1j+аi2в2j+…+аikаkj
2.Определитель- это число, поставленное по определенным правилам в соответствие квадратной матрице.
Обозначается D=detА=
Определитель второго порядка:
Определитель третьего порядка:
(1)
Вычисляется по правилу треугольника. Схематически это выглядит так:
Минором Мij какого-либо элемента определителя n-го порядка называется определитель n-1 порядка, получаемый из данного определителя вычеркиванием i строки и j столбца, на пересечении которых стоит элемент.
Например: , - миноры элементов a11 и a31 определителя D.
Алгебраическим дополнением Аij какого-либо элемента аij называется его минор Мij, умноженный на (-1)i+j,где i,j –номера строки и столбца элемента аij:
Aij=(-1)i+jMij (2)
Матрица А-1 называется обратной по отношению к матрице А, если выполняется равенство:
A-1A=AA-1=E
Если определитель D матрицы А не равен 0, то обратная матрица вычисляется по формуле:
, (3)
где - присоединенная матрица, составляется из алгебраических дополнений следующим образом:
(4)
-
Элементарными называются следующие преобразования матриц:
а) перестановка строк (столбцов),
б) умножение строк (столбцов) на число, отличное от 0,
в) прибавление к элементам какой-либо строки (столбца) соответствующих элементов другой строки (столбца), умноженных на число.
При помощи элементарных преобразований любую прямоугольную матрицу можно привести к ступенчатому виду. Схематично ступенчатая матрица изображена на рисунке:
Не заштрихованная часть матрицы занята нулями. В клетках, покрытых двойной штриховкой , стоят ненулевые элементы. Они называются угловыми элементами. Остальные элементы могут быть произвольными.
Число r угловых элементов ступенчатой матрицы В не зависит от способа приведения матрицы А к ступенчатому виду и называется рангом матрицы А. Обозначается r(А)=r(В)=r
3. Система 3-х линейных уравнений с тремя неизвестными х1,х2,х3 имеет вид:
(5)
где аij – коэффициенты системы, bi- свободные члены.
Определитель 3-го порядка D, составленный из коэффициентов при неизвестных, называется определителем системы:
Решение системы методом Крамера: Если определитель системы D не равен нулю, то решение находится по формулам Крамера:
, (6)
где определители D1, D2, D3 вычисляются следующим образом:
Систему (5) можно записать в матричной форме:
АХ=В , (7)
где
Решение системы (1) матричным способом: Если определитель системы D не равен 0, то решение системы имеет вид:
Х=А-1В (8)
4 .Вектором называется отрезок с определенным на нем направлением.
Обозначается .
Координатами вектора в прямоугольной системе координат в пространстве называются его проекции на оси координат Ох, Оу, Оz.
Обозначается
Х= прОх=х2-х1
У= прОу=у2-у1 (9)
Z= прОz=z2-z1,
где точка А(х1,у1,z1)-начало вектора, В(х2,у2,z2)- конец вектора.
Длина вектора вычисляется по формуле:
(10)
Вектор может быть разложен по базису , т.е. представлен в виде:
5.Скалярным произведением двух векторов и называется число, определяемое равенством:
= , (11)
где - угол между векторами и .
Выражение скалярного произведения двух векторов через координаты векторов:
=, (12)
где ,
7. Векторным произведением двух векторов и называется вектор
-
длина его вычисляется по формуле
= ,
-угол между векторами и ,
2) вектор перпендикулярен векторам и ,
3) векторы ,, образуют правую тройку.
Выражение векторного произведения через координаты векторов и :
= , (13)
где Х1,У1,Z1- координаты вектора , Х2,У2,Z2- координаты вектора .
Геометрически длина векторного произведения равна площади параллелограмма, построенного на векторах и : Sпар-ма=
8. Смешанным произведением трех векторов ,, называется число, равное скалярному произведению вектора и векторного произведения х:
=(х)
Выражение смешанного произведения векторов через их координаты:
= ,
где Х1,У1,Z1- координаты вектора , Х2,У2,Z2- координаты вектора , Х3,У3,Z3- координаты вектора .
Модуль смешанного произведения векторов ,, равен объему параллелепипеда, построенного на этих векторах:
9.Общее уравнение плоскости S имеет вид:
Ах+Ву+Сz+D=0 (14)
Где - нормальный вектор плоскости.
Уравнение плоскости, проходящей через три точки М0(х0,у0,z0), М1(х1,у1,z1), М2(х2,у2,z2) имеет вид:
(15)
Угол между двумя плоскостями S1 и S2 определяется как угол между их нормальными векторами и , определяется из формулы:
(16)
10.Уранения прямой в пространстве, проходящей через две точки М0(х0,у0,z0), М1(х1,у1,z1) имеют вид:
(17)
Пример 1. По координатам вершин пирамиды А1(2,-3,1), А2(-1,-4,2), А3(4,-1,2), А4(3,-4,2) найти: 1.длины ребер А1А2 и А1А3; 2. угол между ребрами А1А2 и А1А3; 3. площадь грани А1А2А3; 4. объем пирамиды А1А2А3А4.
Р е ш е н и е.
1.Находим векторы
Длины этих векторов, т.е. длины ребер А1А2 и А1А3 таковы:
-
Скалярное произведение векторов находим по формуле (12):
Косинус угла между векторами находим по формуле:
3. Площадь грани А1А2А3 равна половине площади параллелограмма, построенного на векторах , т.е. половине длины векторного произведения этих векторов:
4) Объем V пирамиды равен объема параллелепипеда, построенного на векторах.
Координаты вектора
Пример 2. Найти угол между плоскостью Р1, проходящей через точки А1(2,-3,1),А2(-1,-4,2),А3(4,-1,2) и плоскостью Р2, проходящей через точки А1,А2,А4(3,-4,2).
Р е ш е н и е. Находим уравнения плоскостей Р1 и Р2 по формуле (16):
(x-2)(-3)-(y+3)(-5)+(z-1)(-4)=0
3x-5y+4z-25=0-уравнение плоскости Р1, - нормальный вектор плоскости Р1.
(x-2)0-(y+3)(-4)+(z-1)4=0 y+z+2=0- уравнение плоскости Р2, - нормальный вектор плоскости Р2.
Угол между плоскостями находим по формуле (17)
Пример 3. Составить уравнение прямой, проходящей через точки А1(2,-3,1) и А2(-1,-4,2).
Р е ш е н и е. Используя формулу (12), получаем:
-уравнение искомой прямой.
Пример 4. С помощью формул Крамера найти решение системы:
Р е ш е н и е. Находим определитель системы:
Так как D0, то решение системы находим по формулам Крамера:
Находим D1,D2,D3:
;
;
.
Получаем решение системы: \=
Пример 5. Дана система линейных уравнений
Найдем решение системы уравнений методом Гаусса. Разделим первое уравнение на 2. Затем умножим обе части этого уравнения на (-3) и прибавим их к соответствующим частям третьего уравнения, и, умножив на (-5), прибавим к соответствующим частям третьего уравнения. В результате получим систему:
Разделим обе части второго уравнения на 7/2, после этого умножим обе части полученного второго уравнения на (-15/2) и сложим их с соответствующими частями третьего уравнения, в результате получим систему:
Из последнего уравнения находим z=3, затем из второго найдем у=-2, из третьего найдем х=1.