- •Глава 12. Элементы теории обыкновенных дифференциальных уравнений (оду)
- •12.1 Основные понятия и определения
- •12.2 Дифференциальные уравнения с разделяющимися переменными
- •12.3 Однородные и квазиоднородные уравнения
- •12.4 Линейные дифференциальные уравнения первого порядка
- •12.5 Дифференциальные уравнения в полных дифференциалах
- •12.6. Уравнения, не разрешенные относительно производной
- •12.7. Дифференциальные уравнения высших порядков
- •12.7.1 Основные понятия. Теорема Коши.
- •12.7.2. Уравнения, допускающие понижения порядка.
- •12.8. Линейные дифференциальные уравнения высших порядков
- •12.9. Линейные однородные дифференциальные уравнения с постоянными коэффициентами
- •12.10. Линейные неоднородные дифференциальные уравнения
- •12.11. Метод неопределенных коэффициентов для определения частного решения неоднородного линейного уравнения с постоянными коэффициентами
- •12.12. Уравнение Эйлера. Системы линейных дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами (основные понятия)
- •12.13. Системы линейных дифференциальных уравнений первого порядка с постоянными коэффициентами
- •12.14. Системы линейных дифференциальных уравнений второго порядка с постоянными коэффициентами
- •12.15. Понятие решения
- •12.16. Уравнения с разделяющимися коэффициентами
- •12.17. Однородные уравнения
- •12.18. Линейные уравнения первого порядка
- •12.19. Уравнение Бернулли
- •12.20. Уравнения в полных дифференциалах
- •12.21. Уравнения вида
- •12.22. Уравнения вида
- •12.23. Линейные уравнения с постоянными коэффициентами
- •12.24. Принцип суперпозиции
- •12.25. Метод Лагранжа
- •Вопросы, упражнения и задачи к главе «Дифференциальные уравнения»
- •Тест для самоконтроля к главе «Дифференциальные уравнения»
12.21. Уравнения вида
Постановка задачи. Найти общее решение дифференциального уравнения
Алгоритм решения.
1. Полагая , получим дифференциальной уравнение первого порядка
2. Определяя тип этого уравнения и применяя соответствующий метод решения, находим где - произвольная постоянная.
3. Так как , имеем
Последовательно интегрируя раз (при каждом интегрировании не забывая о произвольной постоянной), получим ответ
– произвольный постоянные.
Пример 27. Найти общее решение дифференциального уравнения
Решение.
1. поскольку дифференциальное уравнение не содержит у, то полагая , имеем . Получаем дифференциальное уравнение первого порядка
2. Уравнение
линейное относительно и . Решая его, например, методом вариации произвольной постоянной, находим
3. Так как , имеем
Интегрируя, получим общее решение .
Ответ. .
Условия задач. Найти общие решения дифференциальных уравнений.
1. . Ответ:
2. Ответ:
12.22. Уравнения вида
Постановка задачи. Найти решение задачи Коши для дифференциального уравнения
с начальными условиями
Алгоритм решения.
1. Поскольку дифференциальное уравнение не содержит явно независимой переменной х, полагаем
где - новая неизвестная функция. Тогда по формуле для произведения сложной функции имеем
Получим уравнение первого порядка относительно
2. Определяя тип этого уравнения и применяя соответствующий метод решения, находим , где С – произвольная постоянная.
3. Используя начальные условия (оба), находим .
4. Подставляя , получаем дифференциальное уравнение с разделяющимися переменными
Разделяя переменные в области, где , получаем
и, интегрируя, находим .
Проверяем, не является ли решение особым решением исходного уравнения, удовлетворяющим начальным условиям.
5. Используем начальные условия для нахождения второй постоянной (значение уже найдено в п.3) и получаем решение задачи Коши.
Ответ записываем в виде или .
Пример 28. Найти решение задачи Коши для дифференциального уравнения
с начальными условиями .
Решение.
1. Поскольку дифференциальное уравнение не содержит явно независимой переменной х, полагаем
где – новая неизвестная функция. Тогда по формуле для производной сложной функции имеем
Получим уравнение первого порядка относительно
2. Разделяя переменные и интегрируя, находим
т.е.
(знак минус мы выбрали из начального условия ).
3. Из начальных условий (обоих) имеем при . Отсюда, . Учитывая, что в силу первого начального условия и, следовательно, , получаем
4. Разделяя переменные и интегрируя, находим
5. Из начального условия получим . Следовательно,
(Знак минус мы выбрали из начального условия .)
Ответ.
Условия задач. Найти решения задач Коши для дифференциальных уравнений
1. Ответ:
2. Ответ:
12.23. Линейные уравнения с постоянными коэффициентами
Постановка задачи. Найти общее решение линейного дифференциального уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами
где - многочлен степени , - многочлен степени и - действительные числа.
Алгоритм решения.
Общее решение неоднородного линейного уравнения -го порядка имеет следующую структуру:
где – фундаментальная система решений и - общее решение соответствующего однородного уравнения, - какое-нибудь частное решение неоднородного уравнения.
1. Записываем соответствующее однородное уравнение
и ищем его решение в виде , где - неизвестное число.
Подставляя и в уравнение (91) и сокращая , получаем так называемое характеристическое уравнение
2. Решаем характеристическое уравнение. Обозначим корни характеристического уравнения и . Тогда фундаментальная система решений и общее решение уравнения (91) записываются в одном из следующих трех видов:
а) если и вещественны и , то фундаментальная система решений – это и общее решение имеет вид
б) если и вещественны и , то фундаментальная система решений – это и общее решение имеет вид
в) если и комплексные, т.е. , то фундаментальная система решений – это и общее решение имеет вид
3. Ищем какое-либо частное решение неоднородного уравнения. Поскольку правая часть уравнения имеет вид
можно применить метод подбора частных решений:
если не является корнем характеристического уравнения (92), то
где и - многочлены степени с неопределенными коэффициентами;
если есть корень характеристического уравнения (92) кратности , то
где и - многочлены степени с неопределенными коэффициентами.
4. Находим неопределенные коэффициенты, подставляя в исходное уравнение.
Записываем ответ по формуле (90).
Замечание 15. Аналогично решаются линейные дифференциальные уравнения с постоянными коэффициентами любого порядка.
Пример 29. Найти общее решение линейного дифференциального уравнения
Решение.
1. Записываем соответствующее однородное уравнение
и ищем его решение в виде , где - неизвестное число.
Подставляя и в уравнение (95) и сокращая , получаем так называемое характеристическое уравнение
2. Характеристическое уравнение имеет два комплексно сопряженных корня .
Имеем фундаментальную систему решений
и общее решение однородного уравнения (95)
3. Ищем какое-либо частное решение неоднородного уравнения (94). В нашем случае правая часть неоднородного уравнения имеет вид (93) с .
Так как характеристическое уравнение имеем комплексные корни кратности и , то частное решение ищем в виде
где - неизвестные числа (неопределенные коэффициенты).
4. Находим неопределенные коэффициенты, дифференцируя два раза и подставляя в уравнение (94).
Приравнивая коэффициенты в обеих частях равенства при , получим четыре уравнения
из которых определяем . Таким образом,
По формуле (90) находим общее решение неоднородного уравнения
Ответ.
Условия задач. Найти общие решения дифференциальных уравнений.
1. Ответ:
2. Ответ: