1.4.3 Определение погрешности ряда измерений

Уменьшение влияния случайных погрешностей на результат измерений достигается многократным измерением величины в одинаковых условиях и нахождением среднего арифметического из N измерений:

X_о = (X₁ + X₂ + … + X_N)/ N,

которое называется наиболее вероятным значением величины, т.к. случайные погрешности, одинаковые по абсолютной величине, но разные по знаку, получаются одинаково часто.

Точность вероятного значения X_о можно задать вероятной погрешностью ΔX_в:

ΔX_в = 2/ 3 • √(Δ₁² + Δ₂² + … + Δ_N²)/ N/ (N – 1),

где разность между результатами отдельного измерения и вероятным значением

Δ₁ = X₁ – X_о,

Δ₂ = X₂ – X_о и т.д.

называется случайным отклонением.

Относительно вероятной погрешности можно сказать, что половина всех случайных погрешностей при повторных измерениях данной величины будет больше ее, а половина – меньше.

Предельная погрешность результата измерения определяется по формуле:

ΔX_пр = 4,5 • ΔX_в.

Результат измерения можно записать так:

X = X_о ± ΔX_в.

Эта запись означает, что при наиболее вероятном значении X_о измеряемой величины при ее повторных измерениях одинаково возможны погрешности как меньше ΔX_в, так и больше ΔX_в, но не превышающие ΔX_пр.

Пример 1

Искомое сопротивление было измерено 8 раз, при этом получены результаты: R₁ = 116,2; R₂ = 118,2; R₃ = 118,5; R₄ = 117,0; R₅ = 118,2; R₆ = 118,4; R₇ = 117,8; R₈ = 118,1 Ом.

Наиболее вероятное значение сопротивления:

R_о = (R₁ + R₂ + … + R₈)/ 8 = 117,8 Ом.

Случайные отклонения:

Δ₁ = R₁ – R_о = -1,6 Ом;

Δ₂ = R₂ – R_о = 0,4 Ом;

Δ₃ = R₃ – R_о = 0,7 Ом;

Δ₄ = R₄ – R_о = -0,8 Ом;

Δ₅ = R₅ – R_о = 0,4 Ом;

Δ₆ = R₆ – R_о = 0,6 Ом;

Δ₇ = R₇ – R_о = 0,0 Ом;

Δ₈ = R₈ – R_о = 0,3 Ом.

Вероятная погрешность результата:

ΔR_в = 2/ 3 • √(Δ₁² + Δ₂² + … + Δ₈²)/ 8/ 7 = 0,19 Ом ≈ 0,2 Ом.

Предельная погрешность:

ΔR_пр = 4,5 • ΔR_в = 4,5 • 0,2 = 0,9 Ом.

Окончательный результат измерения:

R = R_о ± ΔR_в = 117,8 ± 0,2 Ом.

Из написанного следует:

1. наиболее вероятное значение измеренного сопротивления – 117,8 Ом;

2. в данных условиях одинаково часто будут погрешности как больше, так и меньше 0,2 Ом;

3. наибольшая погрешность в данных условиях будет не больше 0,9 Ом.