Міністерство освіти і науки, молоді та спорту України

Дніпропетровський коледж ракетно-космічного машинобудування

Дніпропетровського національного університету ім.О.Гончара

МЕТОДИЧНИЙ ПОСІБНИК

Методичні вказівки та індивідуальні завдання

з дисципліни «Вища математика»

для самостійної роботи студентів

спеціальності 5.05010201 «Обслуговування комп’ютерних систем і мереж»

Розглянуто і ухвалено на засіданні

ПЦК математики та інформатики

Протокол №___від________2011р

Голова комісії_______О.М.Малик

2011

У посібнику запропоновано модульну технологію вивчення курсу вищої математики на другому і третьому курсах для студентів спеціальності «Обслуговування комп’ютерних систем і мереж».

Пропонований матеріал поділяється на вісім модулів:

1) елементи лінійної алгебри;

2) елементи векторної алгебри;

3) аналітична геометрія на площині;

4) диференціальне обчислення функції однієї змінної;

5) дослідження функції методами диференціального обчислення;

6) криві другого порядку;

7) інтеграл та його застосування;

8) диференціальні рівняння.

Кожен модуль містить загальні положення, в яких сформульовані теми розділу, базисні поняття, основні задачі, вимоги до теоретичних та практичних знань і вмінь студентів, якими вони повинні володіти після вивчення даного модуля.

Тема (мікромодуль) містить:

1) теоретичну частину;

2) практичну частину;

3) індивідуальні тестові завдання.

У теоретичній частині викладено у стислій формі необхідний матеріал для опанування розглядуваної теми (конспект лекцій). До всіх тем подано посилання на літературу, що дасть можливість студентам у разі необхідності більш детально і ґрунтовно опанувати теоретичний матеріал.

Практична частина містить приклади розв’язання типових задач, які ілюструють теоретичний матеріал, а також вправи з відповідями для аудиторної роботи студентів.

Наприкінці теми вміщено індивідуальні завдання, які слугують для контролю засвоювання студентами матеріалу даного розділу. На кожному практичному заняття студент здає індивідуальне завдання попереднього мікромодуля, виконане у письмовій формі.

Модуль 1. Елементи лінійної алгебри.

Структура модуля.

Тема 1. Матриці та дії над ними.

Тема 2. Визначник матриці. Властивості визначника матриці.

Тема 3. Ранг матриці.

Тема 4. Обернена матриця.

Тема 5. Розв’язок систем лінійних рівнянь. Метод Крамера.

Тема 6. Матричний метод розв’язання систем лінійних рівнянь.

Тема 7. Розв’язок систем лінійних рівнянь методом Гауса.

Базисні поняття. 1. Матриця. 2. Квадратна матриця. 3. Одинична матриця. 4. Головна діагональ матриці. 5. Транспонована матриця.6. Визначник матриці. 7. Мінор. 8.Алгебраїчне доповнення. 9. Ранг. 10. Обернена матриця.

Основні задачі. 1. Виконання дій над матрицями. 2. Обчислення визначника матриці довільного порядку. 3. Користування властивостями визначника для його обчислення. 4. Обчислення рангу матриці. 5. Знаходження оберненої матриці. 6. Використання методу Крамера для розв’язання 7. Використання матричного методу для розв’язання СЛР. 8. Розв’язування СЛР методом Гауса.

Знання та вміння, якими повинен володіти студент

1. Знання на рівні понять, означень, формулювань.

1.1. Матриця. Квадратна, діагональна, одинична, транспонована, матриця - строка, матриця – стовбець.

1.2. Головна діагональ. Рівні матриці.

1.3. Дії над матрицями: добуток на число, сума, різниця, добуток матриць.

1.4. Визначник матриці. Властивості визначника матриці. Правило Саріуса.

1.5. Мінор. Алгебраїчне доповнення. Правило обчислення визначника n-го порядку.

1.6. Ранг матриці. Елементарні перетворення матриць.

1.7. Обернена матриця. Правило знаходження оберненої матриці.

1.8. Формули Крамера.

1.9. Матричний метод.

1.10. Метод Гауса.

2. Уміння в розв’язанні задач.

2.1. Транспонувати матрицю.

2.2. Знаходити суму та різницю матриць.

2.3. Множити матрицю на число.

2.4. Знаходити добуток матриць.

2.5. Обчислювати визначник матриці 2-го, 3-го та 4-го порядків.

2.6. Користуватись властивостями визначника для його обчислення.

2.7. Знаходити мінор , алгебраїчне доповнення.

2.8. Обчислювати ранг матриці.

2.9. Знаходити обернену матрицю.

2.10. Розв’язувати систему лінійних рівнянь методом Крамера.

2.11. Розв’язувати систему лінійних рівнянь матричним методом.

2.12. Розв’язувати систему лінійних рівнянь методом Гауса.

Література: 1. Г.Я. Дутка «Практикум з математики для економістів» – Л. -1998.

2. В. О. Макаренко «Вища математика для економістів» – К. – 2008.

3. В. Г. Кривуца, В. В. Барковський, Н.В. Барковська «Вища математика. Практикум» К. – 2003.

4. В. П. Денисюк, В. К. Репета «Вища математика» - К. – 2005.

5. В. М. Буйвол «Елементи лінійної і векторної алгебри та аналітичної геометрії». К -1996

6. Г. М. Яковлева «Алгебра і початок аналізу» - М. – 1987.

7. В. П. Дубовик, І. І. Юрик «Вища математика» - К. – 2001.

8. К. Г. Валуєв, І. А. Джаладова «Вища математика. Навчальний посібник» - К. - 2003

Тема 1. Матриці та дії над ними.

ОСНОВНІ ТЕОРЕТИЧНІ ВІДОМОСТІ.

Означення 1. Матрицею розміром mxn називають таблицю упорядкованих чисел або будь-яких інших об'єктів, розташованих в m рядках та n стовпцях.

Матриці позначають великими літерами, наприклад, А, В,С, та круглими дужками, а елементи матриць позначають відповідними малими літерами з двома індексами, наприклад, а_ij, в_ij, с_ij.

Перший індекс і вказує номер рядка, в якому знаходиться цей елемент, другий індекс j вказує номер стовпця, який містить цей елемент. Так, елемент С₄₃ знаходиться на перетині четвертого рядка та третього стовпця матриці С.

Матриця розміру пх1 називається матрицею-стовпцем або вектором-стовпцем. Матриця розміру 1хп називається матрицею-рядком або вектором-рядком. Матрицю називають квадратною порядку п, якщо кількість її рядків однакова з кількістю стовпців і дорівнює п.

Приклад 1. Нехай задані матриці

;;

; ;

Матриця А має розмір 3x4, матриця В розміру 2x3, матриця-стовпець С розміру 4x1, D - матриця рядок розміру 1x4, матриця К - квадратна порядку 3.

Елементи квадратної матриці А порядку n, що розташовані на діагоналі матриці, яка проходить з лівого верхнього кута до правого нижнього кута, утворюють головну діагональ матриці.

Елементи квадратної матриці, що розташовані на діагоналі матриці, яка проходить з правого верхнього кута до лівого нижнього кута, утворюють неголовну (побічну) діагональ матриці.

Наприклад, в матриці

елементами головної діагоналі будуть: a₁₁, a₂₂, a₃₃, ..., a_nn, a елементами неголовної діагоналі будуть: а_1n, а_2(n-1), а_3(n-2), ..., a_n1.

Квадратна матриця зветься діагональною, якщо усі її елементи дорівнюють 0, крім елементів головної діагоналі.

Діагональна матриця, усі елементи якої дорівнюють одиниці, називається одиничною матрицею і позначається Е або І.

Наприклад,

- діагональна матриця 4 порядку;

- одинична матриця порядку 3.

Матриці А та В називають рівними, якщо:

1. вони мають однаковий розмір;

2. їх відповідні елементи рівні, тобто a_ij = в_ij для усіх і та j.

Якщо в матриці А рядки записати стовпцями із збереженням їх нумерації, то одержана матриця зветься транспонованою і позначається А^T, а вказана операція перетворення матриці А називається транспонуванням матриці А.

Наприклад,

якщо , тоді

Матриці широко використовуються не лише в різних навчальних дисциплінах, але й в практичній діяльності спеціалістів багатьох галузей, тому треба розуміти правила дій з матрицями і мати навички їх використання.