Оцінка похибки чисельного інтегрування
Однією з характеристик квадратурної формули є оцінка її залишкового члена. За нею можна визначити, яка з квадратурних формул точніша для даного класу функцій.
Гранична абсолютна похибка результату включає залишковий член квадратурної формули, похибку зумовлену неточністю значень підінтегральної функції і заключну похибку округлення. Якщо значення підінтегральної функції в усіх точках обчислюється з однаковою точністю, то похибка обчислень стала. Тоді похибка, зумовлена неточністю підінтегральної функції, обчислюється за формулою ∆f(b-a).
Для
залишкового члена узагальненої
квадратурної формули лівих та правих
прямокутників має місце формула:
,
середніх прямокутників
,
де
,
.
Тоді гранична абсолютна похибка для лівих і правих прямокутників обчислюється за формулою:
(10)
середніх прямокутників
(11)
де ∆0 – заключна похибка округлення результату.
Аналогічно, гранична абсолютна похибка значення інтеграла, обчисленого за квадратурною формулою трапецій, дорівнює
(12)
Сімпсона
(13)
де,
,
,
∆0
– похибка остаточного округлення
результату.
Іноді оцінити залишковий член квадратурної формули дуже важко або й неможливо, наприклад тоді, коли функцію задано таблично і аналітичний вираз її невідомий, або коли функцію задано складним аналітичним виразом і її похідні важко оцінити. Тоді використовують методи подвійного перерахунку, які передбачають двічі обчислювати означений інтеграл, але при різних h. Якщо результати практично рівні, то можна вважати, що обчислення проведено правильно і за остаточний результат взяти значення, обчислене при меншому кроці, а за похибку – різницю між одержаними значеннями.
Зразок виконання лабораторної роботи Завдання
Завдання
1.
Обчислити інтеграл
з кроком h=0,1
за методом лівих, правих та середніх
прямокутників. Знайти граничні абсолютні
похибки результатів.
Завдання
2.
Обчислити
за формулою трапецій з кроком h=0,1.
Знайти граничні абсолютні похибки
результатів.
Завдання
3.
Обчислити
за формулою Сімпсона, користуючись для
оцінки точності подвійним перерахунком
при n1=8;
n2=10.
Розв’язання
Задача
1.
У даному випадку
.
Відповідні значення функції подано у
таблиці.
|
k |
|
|
|
|
|
0 |
0,0 |
1 |
0,05 |
0,95238 |
|
1 |
0,1 |
0,90909 |
0,15 |
0,86957 |
|
2 |
0,2 |
0,83333 |
0,25 |
0,8 |
|
3 |
0,3 |
0,76923 |
0,35 |
0,74074 |
|
4 |
0,4 |
0,71429 |
0,45 |
0,68966 |
|
5 |
0,5 |
0,66667 |
0,55 |
0,64516 |
|
6 |
0,6 |
0,625 |
0,65 |
0,60606 |
|
7 |
0,7 |
0,58824 |
0,75 |
0,57143 |
|
8 |
0,8 |
0,55556 |
0,85 |
0,54054 |
|
9 |
0,9 |
0,52632 |
0,95 |
0,51282 |
|
10 |
1,0 |
0,5 |
|
|
Iл.пр.
Iп.пр
.
Iс.пр.
.
Оцінимо
тепер похибку результату. Граничну
абсолютну похибку результату визначимо
за формулами (10) та (11). У даному випадку
,
де
,
,
.
Значення підінтегральної функції у вузлах обчислювались з точністю до 0,5•10-5. Тому гранична абсолютна похибка значень f(xk) дорівнює f=0,5 •10-5. Похибка округлення ∆0 дорівнює 3•10-6 в методах лівих і правих прямокутників та 4•10-6 в методі середніх прямокутників. Підставивши потрібні дані у формулу (10) та (11) відповідно, знаходимо: ∆1=0,050008 в методах лівих та правих прямокутників та ∆1=0,00084 в методі середніх прямокутників. Отже, у знайденому результаті в першому випадку ми не можемо гарантувати правильність жодної значущої цифри, а в другому гарантується правильність двох значущих цифр. Тому добутий результат потрібно записати так (залишаємо правильні цифри і одну сумнівну): Iл.пр Iп.пр 0,7; Iс.пр 0,693. Для порівняння наведемо значення шуканого інтеграла з вісьмома правильними значущими цифрами:
Задача 2. Для нашого випадку m=10 (проміжок інтегрування поділено на 10 рівних частин). Значення підінтегральної функції у вузлових точках обчислюватимемо з п’ятьма правильними цифрами після коми:
Обчислимо
похибку результату. Оскільки
,
то
.
Звідси
.
Значення підінтегральної функції у
вузлах обчислені з точністю до 0,5•10-5
тому f=0,5
•10-5
Похибка округлення ∆0
=
3•10-5
.
Підставивши значення потрібних величин,
дістанемо:
f
0,001675<0,002
Тому результат доцільно подати так:
І=0б694. Зрозуміло, що знайдена оцінка
похибки завищена. Справді, абсолютна
похибка результату
.
Задача
3.
Розглянемо спочатку випадок коли n=8.
Тоді h=(b-a)/n=(1,6-1,2)/8=0,05.
Обчислювальна формула має вигляд
,
де
,
(і=0,
1,…, 8).
Обчислення значень функції, а також сума значень функції, які мають однакові коефіцієнти в формулі, показуємо в таблиці.
|
і |
xi |
y0, y8 |
y1, y3, y5,y7 |
y2, y4, y6 |
|
0 |
1,20 |
0,1211 |
|
|
|
1 |
1,25 |
|
0,1520 |
|
|
2 |
1,30 |
|
|
0,1782 |
|
3 |
1,35 |
|
0,2000 |
|
|
4 |
1,40 |
|
|
0,2176 |
|
5 |
1,45 |
|
0,2312 |
|
|
6 |
1,50 |
|
|
0,2410 |
|
7 |
1,55 |
|
0,2473 |
|
|
8 |
1,60 |
0,2503 |
|
|
|
Σ |
|
0,3714 |
0,8305 |
0,6368 |
Звідси
слідує,
.
Нехай
тепер n=10.
Тоді h=(b-a)/n=(1,6-1,2)/10=0,04.
Обчислювальна формула має вигляд
,
де
,
(і=0,
1,…, 10).
Обчислення значень функції, а також сума значень функції, які мають однакові коефіцієнти в формулі, показуємо в таблиці.
|
і |
xi |
y0, y10 |
y1, y3, y5,y7,y9 |
y2, y4, y6,y8 |
|
0 |
1,20 |
0,1211 |
|
|
|
1 |
1,24 |
|
0,1462 |
|
|
2 |
1,28 |
|
|
0,1683 |
|
3 |
1,32 |
|
0,1875 |
|
|
4 |
1,36 |
|
|
0,2039 |
|
5 |
1,40 |
|
0,2176 |
|
|
6 |
1,44 |
|
|
0,2288 |
|
7 |
1,48 |
|
0,2375 |
|
|
8 |
1,52 |
|
|
0,2439 |
|
9 |
1,56 |
|
0,2482 |
|
|
10 |
1,6 |
0,2503 |
|
|
|
Σ |
|
0,3714 |
1,0370 |
0,8449 |
Звідси
слідує,
.
Значення
відрізняються лише в останній цифрі,
але друге значення точніше ніж перше.
Тому
.
Зауважимо, що для виконання завдань зручно використати програми табулювання та сумування значень функції. Для методу Сімпсона сумування краще провести на калькуляторі, щоб не ускладнювати програму умовними операторами. Для методів прямокутників та трапецій програми дуже схожі. Приведемо їх.