4. Логические основы эвм

Алгеброй логики называется непустое множество A с двумя бинарными операциями (аналог конъюнкции), (аналог дизъюнкции), унарной операцией (аналог отрицания) и двумя выделенными элементами: 0 (или Ложь) и 1 (или Истина) такими, что для всех a, b и c из множества A верны следующие аксиомы:

		ассоциативность
		коммутативность
		законы поглощения
		дистрибутивность
		дополнительность

Из аксиом видно, что наименьшим элементом является 0, наибольшим является 1, а дополнение ¬a любого элемента a однозначно определено. Для всех a и b из A верны также следующие равенства:

;	;
;	;
;	;
;	;	дополнение 0 есть 1 и наоборот
;	;	законы де Моргана
.		инволютивность отрицания

В данном разделе повторяются свойства и аксиомы, описанные выше с добавлением ещё нескольких.

Сводная таблица свойств и аксиом, описанных выше:

;	.	1коммутативность переместительность
;	.	2 ассоциативность сочетательность
3.1 конъюнкция относительно дизъюнкции	3.2 дизъюнкция относительно конъюнкции	3 дистрибутивность распределительность
;	.	4 комплементивность дополнительность (свойства отрицаний)
;	.	5 законы де Моргана
;	.	6 законы поглощения
;	.	7 Блейка-Порецкого
;	.	8 Идемпотентность
.		9 инвольтивность отрицания
;	.	10 свойства констант
;	.
дополнение 0 есть 1 ;	дополнение 1 есть 0 .
;	.	11 Склеивание

Пример

!(!A+!B(A+C)+B(!(A+C))) = !(!A+!BA+!BC)+B!A!C)) =  !(!A+!BA+!BC)+B!A!C)) = !(!A+!BA+!BC) = A!(A!B)!(!BC) = A(!A+B)(B+!C) = (A!A+AB)(B+!C) = AB(B+!C)=AB+AB!C = AB ! – отрицание

4.1.Укажите последовательность логических операций в порядке убывания их приоритетов.

импликация, конъюнкция, дизъюнкция, инверсия

инверсия, конъюнкция, дизъюнкция, импликация

инверсия, дизъюнкция, конъюнкция, импликация

импликация, дизъюнкция, конъюнкция, инверсия

Подсказка. Инверсия (отрицание) имеет самый высокий приоритет, то есть выполняется в первую очередь. Импликация имеет самый низкий приоритет, то есть выполняется в последнюю очередь (при условии, что в выражении не используются скобки). Если провести аналогию между логическими и арифметическими операциями, то дизъюнкция – это логическое сложение, а конъюнкция – это логическое умножение. Как известно, операция умножения имеет приоритет выше, чем операция сложения.

4.2. Для запоминания 2 байт информации достаточно ___ триггера(ов).

1

16

8

2

Подсказка. Триггер – это электронное устройство, которое может находиться в одном из двух устойчивых состояний (1 или 0). Это означает, что один триггер способен хранить 1 бит информации.

4.3. Применяя побитовую операцию AND к числам 11111₂ и 10101₂, получим двоичный код десятичного числа...

0

21

32

31

4.4. На рисунке представлено условное обозначение логического элемента...

ИЛИ

НЕ

И

ИЛИ - НЕ

4.5. Логическое выражение истинно, когда значение переменной  равно …

2

4

1

0

4.6. На рисунке приведена таблица истинности для выражения, содержащего две логические операции. Одна из них –   (второй столбец). В заголовке третьего столбца таблицы должно быть указано логическое выражение…

4.7. При вычислении логических выражений логические операции 1 – дизъюнкция 2 – инверсия 3 – конъюнкция выполняются в соответствии с приоритетом...

3-2-1

2-1-3

1-2-3

2-3-1

4.8. Высказывание A – «Джон фон Нейман – архитектор ЭВМ»; высказывание В – «Диагонали прямоугольника равны». Конъюнкцией этих высказываний () является предложение …

«Джон фон Нейман – архитектор ЭВМ тогда и только тогда, когда диагонали прямоугольника равны»

«Джон фон Нейман – архитектор ЭВМ, и диагонали прямоугольника равны»

«Джон фон Нейман – архитектор ЭВМ, или диагонали прямоугольника равны»

Если Джон фон Нейман – архитектор ЭВМ, то диагонали прямоугольника равны»

4.9. Логическое выражение   принимает ложное значение при наборе значений переменных …

(верно)

Подсказка. Последовательность выполнения логических операций дизъюнкции и конъюнкции. Сначала выполняется операция конъюнкции  а затем дизъюнкции

Самый простой путь выполнения задания – последовательно подставить все предлагаемые наборы значений логических переменных и определить, на каком наборе выражение принимает значение 0 (ложь). Можно выбрать другой путь – построить таблицу истинности, в которой последовательно вычислить значения заданного выражения на всех наборах значений переменных. Из таблицы будет видно, какой набор значений переменных удовлетворяет условию задания. Для выполнения задания необходимо знать обозначения логических операций, их таблицы истинности и порядок вычислений по приоритету. В исходном выражении используются следующие логические операции: Найдем решение путем логических рассуждений. Установим последовательность выполнения логических операций, используемых в выражении, с учетом скобок и приоритетов. Вначале должна выполняться импликация затем конъюнкция Последней будет выполняться дизъюнкция. Дизъюнкция принимает значение 0 (ложь) только тогда, когда значения ее логических переменных равны 0. Это означает, что должны выполняться равенства: и Результат выполнения импликации равен 0 только тогда, когда то есть только в случае Результат выполнения конъюнкции равен 0 только тогда, когда то есть только в случае Отсюда Следовательно, условию задания удовлетворяет набор значений переменных

4.10. Электронное устройство, схема которого представлена на рисунке, называется …

сумматором

триггером

транзистором

реле

Подсказка. Сумматор – это устройство, осуществляющее операцию арифметического суммирования чисел в двоичном коде. Полный одноразрядный двоичный сумматор имеет три входа:  – слагаемые,  – перенос из младшего разряда и два выхода: сумму  и перенос  Пример схемы такого сумматора и его таблица истинности имеют следующий вид:

Транзистор – это полупроводниковый прибор с тремя или более электродами, предназначенный для усиления, генерирования и преобразования электрических сигналов. На основе транзисторов строятся базовые логические элементы (конъюнкторы, дизъюнкторы, И-НЕ, ИЛИ-НЕ и др.). Примеры условных обозначений транзисторов:

Реле – это электромеханическое устройство, которое при подаче на него электрического тока замыкает (или размыкает) электрические контакты. Используется для включения и выключения электрических устройств и коммутации электрических цепей. Пример условного обозначения реле: Входные и выходные сигналы электромеханических реле, подобно высказываниям в булевой алгебре, также принимают только два значения. Когда обмотка обесточена, входной сигнал равен 0, а если по обмотке протекает ток, входной сигнал равен 1. Когда контакт реле разомкнут, выходной сигнал равен 0, а если контакт замкнут – равен 1. Вычислительная машина Конрада Цузе, созданная им в 1937 году, работала на основе электромеханических реле.

4.10. Выполните подстановку операции так, чтобы равенство 1 _______ 1 = 0 оказалось верным.

логическое ИЛИ (OR)

отрицание (NOT)

исключающее ИЛИ (XOR)

логическое И (AND)

4.11. Для выполнения логических вычислений при проектировании (синтезе) логических устройств ЭВМ используют

таблицы истинности

таблицы состояний

таблицы высказываний

реляционные таблицы

4.12. В результате упрощения логического выражения получится выражение…

(вроде верно)

4.13. Логическая функция принимает значение Ложь (0) при …

(вроде верно)

Подсказка. Проверьте порядок выполнения логических операций. 1) 2) 3) 4) 5) Напомним Вам также таблицы истинности функций логического умножения (&) и логического сложения

4.14. Логическому выражению   равносильно выражение … (верно)

Подсказка. Применим закон де Моргана к составному высказыванию   По закону двойного отрицания  Тогда И в итоге получаем, что логическое выражение  является единственно верным вариантом ответа.

4.15. На входе логической схемы при F=1 возможна следующая комбинация сигналов (А, В, С, D) …

(1 1 0 0)

(0 1 1 0)

(1 0 1 0)

(1 1 1 0)

Подсказка. Для определения состояний сигнала на входе логической схемы необходимо рассмотреть ее отдельные элементы. 1) Схема И реализует конъюнкцию двух или более логических значений. Единица на выходе схемы И будет тогда и только тогда, когда на всех входах будут единицы. Если хотя бы на одном входе будет ноль, на выходе также будет ноль. Условное графическое изображение логического элемента представлено на рисунке 2) Схема ИЛИ реализует дизъюнкцию двух или более логических значений. Единица на выходе схемы ИЛИ будет тогда и только тогда, когда на любом из входов будет единица. Если на обоих входах будет ноль, на выходе также будет ноль. Условное графическое изображение логического элемента представлено на рисунке 3) Схема ИЛИ-НЕ состоит из элемента ИЛИ и инвертора и осуществляет отрицание результата схемы ИЛИ. Единица на выходе схемы ИЛИ-НЕ будет тогда и только тогда, когда на обоих входах будет ноль. Условное графическое изображение логического элемента представлено на рисунке Подставляя различные комбинации сигналов для А, В, С и D, мы определяем тот вариант, который дает на выходе логической схемы значение 1 (True).

4.16. На рисунке приведена таблица истинности для выражения, содержащего две логические операции. Одна из них – (второй столбец). В заголовке третьего столбца таблицы должно быть указано логическое выражение…

Подсказка. Необходимо вспомнить определение конъюнкции (&). Конъюнкция двух высказываний истинна тогда и только тогда, когда истинны оба высказывания. Обращаясь к представленным в задании ответам, можно заметить, что все операции выполняются относительно составного высказывания и высказывания С. Применяя операцию конъюнкции к данным высказываниям, получаем, что логическое выражение является единственно верным вариантом ответа.

4.17. Символом F обозначено логическое выражение от трех аргументов: Дан фрагмент таблицы истинности выражения F: Логической функции F соответствует логическое выражение…

Подсказка. Необходимо определить значение F на заданных трех наборах значений логических переменных. Подставим значения логических переменных в логическое выражение F. и в таблице Подставим второй набор значений логических переменных в логическое выражение F. и в таблице При подстановке третьего набора значений логических переменных в логическое выражение F и в таблице Таким образом, при одинаковых наборах значений логических переменных значения логического выражения и значения логической функции F совпадают. Итак, правильный ответ

4.18. Высказыванию «Точка Х принадлежит отрезку [А, В] соответствует логическое выражение…

(Х>=A) ИЛИ (Х<=B)

(Х<=A) ИЛИ (Х>=B)

(Х>=A) И (Х<=B)

(Х<=A) И (Х>=B)