Лабораторная работа 1.0
ДИСКРЕТИЗАЦИЯ ПЕРВИЧНЫХ СИГНАЛОВ ЭЛЕКТРОСВЯЗИ
1 Цель работы
Изучение процесса дискретизации непрерывных сигналов по временем и способа восстановления сигналов по их отсчётам. Анализ характеристик дискретных сигналов и факторов, которые вызовут погрешности при восстановлении сигналов.
2 Ключевые положения
2.1 Дискретизация непрерывных сигналов по времени. Под дискретизацией непрерывного по временем сигнала s(t) понимают представление сигнала его мгновенными значениями (отсчётами) s(kTд), где k = …, –1, 0, 1, 2, …; Tд – интервал дискретизации. Последовательность отсчётов изображают вертикальными линиями высотой s(kTд) (рис. 1) и называют ее дискретным сигналом sд(t).
В реальных устройствах отсчет сигнала s(kTд) – это импульс с амплитудой s(kTд) и длительностью Tд, начинающийся в момент времени kTд. Но, обычно, << Tд (рис. 2). Устройство, которое формирует отсчеты, называется дискретизатором. В случае << Tд дискретизатор – это ключ, замыкающий цепь от источника к нагрузке на время (рис. 3). Если = Tд, то используют устройство выборки-хранения, которое состоит из ключа, замыкающегося на очень короткое время, и конденсатора, запоминающего значение отсчета на время до следующего отсчета.
А налитическое выражение дискретного сигнала sд(t):
sд(t) = s(t)(t) = s(t), (1)
где (t) – последовательность отсчетных импульсов, определяющих моменты времени, в которые берутся отсчёты сигнала, и длительность импульсов на выходе дискретизатора;
h(t) – отсчетный импульс:
h(t) = (2)
2.2 Спектр дискретного сигнала. Преобразование Фурье правой части выражения (1) определяет спектральную плотность Sд(j2f) дискретного сигнала (соответствующие математические выкладки можно найти в [1, с. 64–66])
Sд(j2f) = , – < f < , (3)
где fд = 1/ Tд – частота дискретизации;
an = – (4)
коэффициенты разложения последовательности импульсов h(t) в ряд Фурье; поскольку << Tд, то для малых значений n коэффициенты практически не зависят от n, то есть an = /Тд;
S(j2f) – спектральная плотность непрерывного сигнала s(t).
Из (3) следует, что спектр дискретного сигнала – это сумма спектров S(j2f) непрерывного сигнала s(t), смещенных один относительно другого на величину fд и убывающих с увеличением n в соответствии с выражением (4).
Для первичных сигналов электросвязи характерно, что их спектры примыкают к нулевой частоте. На рис. 4, а приведен амплитудный спектр произвольной формы S(f) первичного сигнала, который простирается до максимальной частоты Fmax. Далее на рис. 4 изображены амплитудные спектры сигналов, которые могут иметь место при дискретизации сигнала со спектром, приведенным на рис. 4, а:
рис. 4, б – спектр S(f) последовательности отсчетных импульсов (t), построенный на основе представления (t) рядом Фурье:
(t) = cos(2nfдt);
рис. 4, в – спектр Sд(f) дискретного сигнала, если fд > 2Fmax;
рис. 4, г – спектр Sд(f), если fд = 2Fmax;
рис. 4, д – спектр Sд(f), если fд < 2Fmax.
2.3 Восстановление сигналов по их отсчётам. В соответствии с теоремой Котельникова (теоремой отсчётов) любой сигнал с ограниченным спектром можно точно восстановить (интерполировать) по его отсчётам, взятым через интервал Tд 1/(2Fmax), где Fmax – максимальная частота спектра сигнала.
В справедливости теоремы Котельникова легко убедиться, рассмотрев рис. 4, в, г, д. Если fд 2 Fmax (рис. 4 в, г), то после подачи дискретного сигнала ко входу идеального ФНЧ с частотой среза Fmax Fср fд – Fmax на выходе получим сигнал со спектром S(f) (рис. 4, в, г), то есть восстановленный непрерывный сигнал. На рисунках штриховыми линиями показаны АЧХ идеального ФНЧ с частотой среза Fср = Fmax. Если же fд < 2Fmax, то, как видно из рис. 4, д, невозможно выделить спектр S(f), поскольку имеет место перекрытие спектров.
Процесс восстановления непрерывного сигнала по его отсчётам можно трактовать и во временной области. Если для восстановления сигнала используется идеальный ФНЧ с частотой среза Fср, то его импульсный отклик (без учета задержки в фильтре):
g(t) = .
Поскольку отсчетные импульсы короткие ( << Tд) (приближаются к -функции), то можно считать, что отклик ФНЧ на импульс с амплитудой s(kTд), поданный в момент t = kTд, имеет вид
s(k Tд) = .
Если подать ко входу ФНЧ сигнал sд(t), на его выходе получим сумму откликов
= .
Сравним это выражение с рядом Котельникова, что есть математическим выражением теоремы Котельникова,
s(t) = .
Если Fср = Fmax, то s(t) = (t), то есть имеет место точное восстановление непрерывного сигнала.