1.Построить эпюры поперечных сил и изгибающих моментов;

2.определить размеры поперечного сечения из условия проч­ности балки по допускаемым напряжениям.

Форма сечения изображена на рис. 4.81.

Исходные числовые данные: Р₁=4кН, Р₂=3Р₁=12кН М=6 кНм, q=8 кН/м, l = 1м, допускаемое напряжение чугуна на растяжение допускаемое напряжение на сжатие - .

Рис. 4.80. Заданная схема балки Рис. 4.81.Схема поперечного сече ния балки

Решение.

1. Построение эпюры поперечных сил и изгибающих моментов

1.1. Вычерчиваем расчетную схему балки, показав на схеме ее размеры и действующие нагрузки, включая опорные реакции и направляя их вверх (рис.4.82).

Рис. 4.82. Расчетная схема заданной балки

1.2. Определение опорных реакций из условий равновесия балки:

1.3. Проверка правильность вычисления опорных реакций:

Поскольку уравнение равновесия балки удовлетворяется, реакции определены правильно.

1.4. Построение эпюр поперечных сил и изгибающих моментов на основе дифференциальных зависимостей Д.И. Журавского с вычислением поперечных сил и изгибающих моментов в характерных сечениях.

1.4.1. Для построения эпюр поперечных сил и изгибающих моментов балка разбивается на три участка - AD, DB, BC, начало координат - в крайнем левом сечении балки (рис. 4.87,а).

1.4.2. Вычисления значений Q и M на границах участков (рис. 4.82), слева и справа от граничных сечений. Построение эпюр поперечных сил и изгибающих моментов.

Участок AD.

сечение 1 (начало первого участка):

кН, = -6 кНм;

сечение 2 (конец первого участка):

Участок DB

сечение 3 (начало второго участка):

сечение 4 (конец второго участка):

Участок DC

сечение 5 (начало третьего участка):

сечение 6 (конец третьего участка):

Поскольку эпюра Q в пределах участка CB пересекает свою ось, изменяя знак с плюса на минус, в некотором сечении этого участка балки изгибающий моменты экстремален . Обозначив расстояние этого сечения от начала участка CB через и приравнивая поперечную силу, действующую в этом сечении нулю, определяем численное значение величины :

Экстремальный момент

:

Эпюры поперечных сил и изгибающих моментов представлены на

рис. 4.83.

Рис. 4.83. Расчетная схема балки. Эпюры поперечных сил и изгибающих моментов: а - расчетная схема балки; б - эпюра поперечных сил;

в - эпюра изгибающих моментов.

2.Определение размеров поперечного сечения из условия проч­ности балки по допускаемым напряжениям.

2.1.Вычисление геометрических характеристик заданного сечения.

2.1.1. Определение положения центра тяжести сечения балки.

Для определения размеров поперечного сечения все геометрические характеристики выражаются через параметр t и заданное сечение вычерчивается в масштабе (рис.4.84).

Сечение рассматривается в исходной (начальной) системе координат. Ось ординат y_с, совмещается с осью симметрии фигуры, ось абсцисс x – с ее основанием.

Рис. 4.84. Схема к вычислению геометрических

характеристик поперечного сечения

Заданное составное сечение разбивается на элементы, представляющие собой две простые геометрические фигуры: I - прямоугольник, II – полукруг.

Центры тяжести составляющих фигур и всей заданной фигуры (сечения) лежат на оси симметрии y_с , которая является их главной центральной осью.

В исходной системе координат x, y_с центры тяжести составляющих фигур (С₁, С₂) определяются по рис. 4.84. Ордината точки С₁ и учитывая, что

,

вычисляем ординату точки С₂:

Заданная фигура имеет ось симметрии (ось Y_с,), центр тяжести лежит на этой оси, поэтому достаточно вычислить одну из его координат - ординату y_c:

где - площадь прямоугольника, - площадь полукруга.

Отложив на оси Y_с, отрезок ОС = y_c= 1,9 a, строим точку С - центр тя­жес­ти составного сечения (рис. 4.84) и проводим параллельно начальной оси X главную центральную ось X_С составной фигуры и главные центральные оси составляющих фигур I, II, параллельные исходным осям x, y_с, соответственно обозначенные x₁, y₁ и x₂, y₂.

2.1.2. Вычисление площадей и главных моментов инерции составляющих фигур относительно собственных центральных осей.

Рис. 4.85 .Фигура I -прямоугольник

Д

ля каждой из составляющих простых геометрических фигур вычисляются площадь и осевой момент инерции относительно собственной главной центральной оси, параллельной исходной:

прямоугольник (рис. 4.85)

,

Рис. 4.86. Фигура II полукруг

,

.

2.1.3. Вычисление моментов инерции составляющих фигур относительно главной центральной оси X_C.

Вычисление моментов инерции составляющих фигур относительно главной центральной оси X_C производится по формулам

, .

Считая главные центральные оси x₁, X₂ каждой из составляющих фигур исходными, (расстояния между осями определяется по рис.4.89), получим:

- для прямоугольника

,

;

- для полукруга

,

.

2.1.3. Вычисление главного центрального момента инерции сечения балки относительно главной центральной оси X_C.

Главный центральный мо­мент инерции составной фигуры относительно оси X_C представляет собой сумму осевых моментов инерции составляющих фигур относительно этой же оси

.

2.2.Определение размеров поперечного сечения из условия проч­ности балки.

2.2.1. Определение осевого момента сопротивления при изгибе

Для балки, изготовленной из хрупкого материала, вычисляем два момента сопротивления относительно оси X_C:

2.2.2. Определение размеров сечения из условия прочности балки.

В сечении, где изгибающий момент (рис. 4.88,в), нижние волокна балки растянуты, верхние волокна сжаты. Условие прочности для опасной, наиболее удаленной от нейтральной оси точки в растянутой зоне сечения имеет вид

Из последнего выражения определяем искомый параметр t

Наибольшие сжимающие напряжения в рассматриваемом сечении

Условие прочности по сжимающим напряжениям , удовлетворяется.

Так как условия прочности по растягивающим и сжимающим напряжениям удовлетворяются, величина параметра принимается t = 1,64 см.