Технологический институт южного федерального университета
Кафедра физики
-
ДОПУСК
ВЫПОЛНЕНИЕ
дата
подпись
дата
подпись
Студент: Завада А. Ю. _____________________группа: Э-60_
Работа № 401
Исследование затухающих колебаний
Таганрог 2011
1. Цель работы
Изучение свободных колебаний в колебательном контуре и определение их основных характеристик.
2. Теоретическое введение
Параллельный колебательный контур представляет собой цепь, состоящую из емкости С и индуктивности L, соединенных параллельно. Здесь R представляет собой активное электрическое сопротивление. Колебания в электрическом контуре можно вызвать двумя способами: путем сообщения обкладкам конденсатора С некоторого начального заряда либо путем возбуждения в индуктивности L индукционного тока внешним магнитным полем.
Первоначальная энергия запасенная в контуре будет постепенно уменьшаться вследствие потерь на активном сопротивлении., и, следовательно, свободные колебания в контуре будут затухать с течением времени.
Дифференциальное уравнение, описывающее свободные затухающие колебания в контуре:
(401.1)
или
(401.2)
,где =R/2L - коэффициент затухания; - собственная частота контура без потерь (R = 0). При условии, что квадрат коэффициента затухания меньше квадрата собственной угловой частоты контура, решением уравнения 401.2 является функция:
(401.3)
Отсюда видно, что с течением времени заряд убывает по экспоненциальному закону, причем чем больше , тем быстрее затухают колебания в контуре. Учитывая, что напряжение на конденсаторе U = q/C и I = dq/dt, из 401.3 найдем:
(401.4)
(401.5)
Учитывая, что == получим :
Данный контур имеет активное сопротивление R, следовательно колебания, создаваемые этим контуром, будут являться затухающими. Затухание колебаний принято характеризовать логарифмическим декрементом затухания
,
где Т - период колебания, А(t) - амплитуда N-ного колебания, А(t+Т) - амплитуда N+1-го колебания. Логарифмический декремент затухания обратен числу колебаний Ne, совершаемых за время, в течении которого амплитуда уменшается в e раз.
=
При и получим
, если затухание невелико, и тогда
Колебательный контур также характеризуют его добротностью Q, которая определяется, как величина, обратно пропорциональная логарифмическому декременту затухания:
Из этого следует, что добротность контура тем выше, чем большее число колебаний успевает совершиться прежде, чем амплитуда уменьшиться в e раз
В случае, слабого затухания
Амплитуда силы тока в контуре убывает по закону . Энергия W, запасенная в контуре, пропорциональна квадрату амплитуды силы тока (или квадрату амплитуды напряжения на конденсаторе); следовательно, W убывает по закону . Относительное уменьшение за период равно:
.
При незначительном затухании (т.е. при условии, что <<1) можно приближенно положить равным :
Наконец, заменив в этом выражении через добротность контура Q в соответствии с формулой Q = \ = Ne и решив полученное уравнение относительно Q получим:
Основные расчетные формулы:
- время релаксации - время, за которое амплитуда колебаний уменьшается в "e" раз, рассчитывается по формуле: = bTх , где Тх - цена деления развертки осциллографа, - коэффициент затухания - численно равен обратной величине того промежутка времени , в течении которого амплитуда колебаний уменьшается в "е" раз.
(401.7)
- логарифмический декремент затухания. Из 401.7 следует, что / T = 1 и следовательно = Т / = 1 / Ne .
Q - добротность колебательного контура - потеря энергии в колебательном контуре за один период.
(401.11)
или же:
(401.12)
Период колебаний рассчитывается в трех-пяти местах как произведение длительности развертки на число делений масштабной сетки масштабной сетки между максимумами соседних колебаний.
Коэффициент затуханий рассчитывается по формуле: = 1 / .
Период собственных колебаний - по формуле:
(401.6)
Число колебаний (N) за время релаксации рассчитывается по осциллограмме.
Индуктивность и емкость контура рассчитывают по формулам:
и .