Логнормальное распределение

Формируется в условиях, аналогичных предыдущему. Величина x распределена логнормально, если логарифмы ее значений u = lnx имеют нормальное распределение:

, (5)

где

u - среднее lnx;

_u - дисперсия lnx.

Распределение зависит от двух параметров среднего и дисперсии логарифмов значений x.

Кривая распределения имеет левостороннюю асимметрию (рис. 3.2), которая возрастает с увеличением _u, поэтому хорошо аппроксимирует распределения с отрицательной косостью. Если для величины x известно среднее M и дисперсия ², то параметры логнормального распределения можно вычислить непосредственно по формулам:

_u² = ln(²/M² +1) , (6)

M_u = lnM - _u²/2 , (7)

а плотность логнормального распределения величины x

. (8)

Уравнение (3.8) задано на интервале [0, ].

Имеются многочисленные примеры использования логнормального распределения как модели при свертке лесоводственной информации.

Семейство кривых распределения Джонсона

Это семейство включает три типа кривых, представляющих распределение неограниченных случайных величин (тип SU), ограниченных с одной стороны (SL) и ограниченных с двух сторон (SB).

В общем виде семейство кривых Джонсона требует знания параметра положения , параметра масштаба  и двух параметров формы -  и .

Тип SL. Кривая распределения ограничена слева точкой , а значения x. Этот тип распределения зависит только от трех параметров ,  и *. Плотность распределения для нормированных значений величины x путем замены y=(x-)/ имеет следующий вид (y0):

(1)

В практике использования типа SL может встретиться два случая:

величина  известна;

величина  неизвестна.

В большинстве задач по аппроксимации кривых распределения величина , как правило, может быть определена нижней границей первого класса ряда распределения.

Если значение  неизвестно, то из формулы преобразования исходного распределения с плотностью f(x) к нормированной нормально распределенной величине z имеем:

. (2)

Так как по выборке необходимо оценить параметры *,  и . Для чего составляют три уравнения, приравнивающих три выборочных квантиля трем соответствующим квантилям нормированной нормально распределенной величины z

, (3)

где z_ и x_ - соответственно теоретические и выборочные квантили.

Целесообразно выбирать два симметричных квантиля, что упрощает расчеты, в противном случае приходится решать нелинейное уравнение. Вполне приемлемо брать =0,05; 0,5 и 0,95 (выбор других близких квантилей мало меняет результаты). Так как для нормированного нормального распределения |z_0,05| = |z_0,95| = 1.64, z_0,5= 0, решением системы трех уравнений (4) находят:

, (4)

, (5)

. (6)

Рассмотрим технику вычисления выравнивающих частот по уравнению типа SL на примере аппроксимации при неизвестном .

Х(i)	xi=c/2+xi	ni	Накоп- ленная частота	Накоп- ленная частота, %	Z	F(zi)	sum(ni)	ni	Эмпирии- ческая частота (n)	Теорети- ческая частота (n)	(n-n)2/n
1	2	3	4	5	6	7	8	9	10	11	12
4	6	11	11	2,8	-1,86	0,03	12,38	12,38	11	12,4	0,15
8	10	30	41	10,4	-1,25	0,11	41,91	29,53	30	29,5	0,01
12	14	55	96	24,4	-0,67	0,25	98,46	56,55	55	56,5	0,04
16	18	79	175	44,4	-0,14	0,44	174,92	76,47	79	76,5	0,08
20	22	78	253	64,2	0,36	0,64	252,42	77,50	78	77,5	0,00
24	26	57	310	78,7	0,83	0,80	314,18	61,76	57	61,8	0,37
28	30	41	351	89,1	1,28	0,90	354,41	40,23	41	40,2	0,01
32	34	26	377	95,7	1,70	0,96	376,52	22,11	26	22,1	0,69
36	38	11	388	98,5	2,10	0,98	387,04	10,52	11	10,5	0,02
40	42	6	N = 394	100	2,49	0,99	391,47	4,43	6	4,4	0,56
Рассчитанное значение Х2-Пирсона												1,94
Табличное значение Х2-Пирсона												2,17

В столбец 1 таблицы 1 вписываем середины классовых промежутков Х. Во 2-ом столбце вычисляем верхние границы классовых промежутков. В 3-ем столбце вписаны частоты ряда распределения, в 4-ом рассчитывается их накопление. 5-ый столбец также содержит накопление частот, выраженное в процентах от общего числа N.

По данным столбцов 2 и 5 строим огиву ряда распределения, с которой снимаем значения квантилей, соответствующие вероятностям , равным 0,05, 0,5 и 0,95. Они соответственно составляют 7,4; 19,1 и 33,4. При использовании этих данных по формулам (4)-(6) рассчитываются параметры ряда распределения , * и :

;

;

;

;

Прежде чем приступить к вычислению теоретических частот по вычисленным выборочным оценкам, по формуле (2) [z=*+ln(x_p-)] определяют нормированные нормально распределенные случайные величины (z_i) и записывают их в столбец 6. По таблицам F(z) или непосредственно в пакете прикладных программ (в MS Excel с помощью функции F(z_i) = НОРМСТРАСП(z_i)) находим накопленную вероятность, соответствующую верхним границам классов ряда распределения и заносят данные в столбец 7.

В столбце 8, путем умножения величин столбца 7 на общее количество наблюдений (N), находят теоретические накопленные частоты ряда распределения. В 9-ом столбце производится вычисление частот по классам.

Правильность расчета теоретических частот ряда проверяют по величине χ²-Пирсона как сумму величин (n-n)²/n (столбец 12). В случае (χ²_р) < (χ²₀₅) Нулевая гипотеза (Н₀) - принимается, т.е. различие между эмпирическим и теоретическим распределениями не достоверно.