3. Двовимірний статистичний розподіл вибірки та його числові характеристики

Перелік варіант та відповідних їм частот спільної їх появи утворюють двовимірний статистичний розподіл вибірки, що реалізована з генеральної сукупності, елементам цієї вибірки притаманні кількісні ознаки Х і Y.

У табличній формі цей розподіл має такий вигляд:

				…
				…
				…
				…
…	…	…	…	…	…	…
				…
				…

Тут — частота спільної появи варіант

.

Загальні числові характеристики ознаки Х:

загальна середня величина ознаки Х

(16)

загальна дисперсія ознаки Х

(17)

загальне середнє квадратичне відхилення ознаки Х

(18)

Загальні числові характеристики ознаки Y:

загальна середня величина ознаки Y

(19)

загальна дисперсія ознаки Y

(20)

загальне середнє квадратичне відхилення ознаки Y

(21)

Умовні статистичні розподіли та їх числові характеристики

Умовним статистичним розподілом ознаки Y при фіксованому значенні називають перелік варіант ознаки Y та відповідних їм частот, узятих при фіксованому значенні Х.

.

				…
				…

Тут

Числові характеристики для такого статистичного розподілу називають умовними. До них належать:

умовна середня ознаки Y

; (22)

умовна дисперсія ознаки Y

(23)

умовне середнє квадратичне відхилення ознаки Y

. (24)

вимірюють розсіювання варіант ознаки Y щодо умовної середньої величини

Умовним статистичним розподілом ознаки Х при називають перелік варіант та відповідних їм частот, узятих при фіксованому значенні ознаки .

.

				…
				…

Тут

Умовні числові характеристики для цього розподілу:

умовна середня величина ознаки Х

; (25)

умовна дисперсія ознаки Х

; (26)

умовне середнє квадратичне відхилення ознаки Х

. (27)

При відомих значеннях умовних середніх загальні середні ознаки Х та Y можна обчислити за формулами:

(28)

(379)

Кореляційний момент, вибірковий коефіцієнт кореляції

Під час дослідження двовимірного статистичного розподілу вибірки постає потреба з’ясувати наявність зв’язку між ознаками Х і Y, який у статистиці називають кореляційним. Для цього обчис- люється емпіричний кореляційний момент за формулою

. (30)

Якщо , то кореляційного зв’язку між ознаками Х і Y немає. Якщо ж то цей зв’язок існує.

Отже, кореляційний момент дає лише відповідь на запитання: є зв’язок між ознаками Х і Y, чи його немає.

Для вимірювання тісноти кореляційного зв’язку обчислюється вибірковий коефіцієнт кореляції за формулою

. (31)

Як і в теорії ймовірностей,

Приклад. За заданим двовимірним статистичним розподілом вибірки ознак Х і Y

	10	20	30	40
2	—	2	4	4	10
4	10	8	6	6	30
6	5	10	5	—	20
8	15	—	15	10	40
	30	20	30	20

потрібно:

1) обчислити ,

2) побудувати умовні статистичні розподіли й обчислити умовні числові характеристики.

Розв’язання. 1) Щоб обчислити , визначимо . Оскільки то

Отже,

Отже, .

Для визначення обчислюють

Тоді

Отже, а це свідчить про те, що між ознаками Х і Y існу- ватиме від’ємний кореляційний зв’язок.

Для вимірювання тісноти цього зв’язку обчислимо вибірковий коефіцієнт кореляції.

Отже, тобто тіснота кореляційного зв’язку між ознаками Х та Y є слабкою.

Умовний статистичний розподіл матиме такий вигляд:

	2	4	6	8
	4	6	5	15

Обчислюються умовні числові характеристики для цього розподілу: