Интегральная функция распределения

F(x)=P(X≤x)= (или строго <)

Р 1 … р1 + р2 р1 х1 х2…..хn х

3 Вопрос. Независимость случайных величин и математические операции над случайными величинами.

Пусть случайная величина X принимает значения: x₁,x₂,..., x_n с вероятностями p₁, р₂, ..., р_n, а случайная величина Y принимает значения у₁, у₂.., у_m с вероятностями q₁, q₂,..,q_m.

Определим некоторые операции над случайными величинами.

1. сХ: cx₁, cx₂, ...,сх_n

2. X² : x₁²,x²₂,...,x_n²

3. X±Y : x_i±y_j (i=l,2,...,n; j=l,2, ...,m)

p_i q_j

4. X*Y: x_i*y_j (i=l,2,...,n; j=l,2, ...,m)

p_iq_j.

4 Вопрос. Числовые характеристики дсв. Ожидаемое значение дискретной случайной величины.

Математическое ожидание ДСВ Х:

Свойства математического ожидания дискретной случайной величины.

1. М(с)=с

2. М(сХ)=сМ(Х)

3. M(XY)=M(X)M(Y)

4. M(XY)=M(X)M(Y)

5. М(Хс)=М(Х) с

Следствие. М[Х-М(Х)]=0

6. М(Х)=М(Х_i).

5 Вопрос. Дисперсия и среднее квадратическое отклонение дсв. Свойства дисперсии.

Дисперсия ДСВ:

Свойства дисперсии дискретной случайной величины.

1. D(c)=0

2.D(cX)=c²D(X)

3. D(X±Y)=D(X)+D(Y)

4. Если X₁,X₂,...,X_n. - одинаково распределенные независимые случайные величины, дисперсии каждой из которых равны σ², то дисперсия их суммы равна n σ², а дисперсия средней арифметической равна σ²/n ,т.е. D(X)=σ²/n

5. Упрощенная формула для вычисления дисперсии ДСВ: σ²=D(X)=M(X²)–[M(X)]², где

Среднее квадратическое отклонение (стандартное отклонение) ДСВ равно корню квадратному из дисперсии:

6 Вопрос Непрерывные случайные величины. Функция распределения нсв.

Функция распределения F(x)

F(x) = Р(Х < х)

Свойства F(x)

1. 0 ≤ F(Х) ≤ 1

2. F(x₂)≥ F(x₁), если х₂ > x₁

Следствие 1. P(α<X<β) = F(β) – F(α)

3. F(X)=0 при Х ≤ α и F(X) = 1 при X>β.

График функции распределения для непрерывной случайной величины

F(x) F(x)=1 1 F(x)=0 x

7 Вопрос. Дифференциальная функция и ее свойства. Вероятность попадания нсв в заданный интервал. Связь функции распределения с плотностью распределения.

f(x)=F`(x).

Свойства дифференциальной функции f(x)

1. f(x)≥0

2.

Вероятность попадания непрерывной случайной величины в заданный интервал

Связь функции распределения с плотностью распределения

8 Вопрос. Числовые характеристики непрерывных случайных величин

Математическое ожидание НСВ:

Дисперсия НСВ:

Для дисперсии НСВ справедлива формула:

σ²=D(X)=M(X²)–[M(X)]², где

Пример:

Задана интегральная функция распределения F(x) НСВ следующим образом:

Найти плотность распределения f(x), вероятность P(2<X<4), вычислить числовые характеристики распределения этой НСВ и построить графики F(x) и f(x)

Решение:

1. Плотность распределения (дифференциальную функцию) найдём как первую производную от интегральной функции:

2. P(2<X<4) можно найти либо как приращение функции распределения, либо через плотность f(x):

1 способ.

P(α<x<β) = F(β) – F(α)

P(2<x<4) = F(4) – F(2) =

2 способ.

3. По формуле найдём математическое ожидание НСВ

По формуле найдём дисперсию НСВ

Вычислим дисперсию по формуле σ²=D(X)=M(X²)–[M(X)]²,найдя вначале M(X²)

Теперь σ²=D(X)=18 – 4²= 2 кв. ед.

4. Графики интегральной функции F(x) и дифференциальной функции f(x) изображены на рисунках 1 и 2.

F(x) F(x)=1 1 F(x)=0 0 6 x Рисунок 1.

f(x) 1/3 f(x)=x/18 P(2<X<4) f(x)=0 f(x)=0 0 2 4 6 x Рисунок 2.