- •Федеральное агентство по образованию
- •Алгебра и аналитическая геометрия. Математический анализ
- •305040 Курск, ул. 50 лет Октября, 94. Содержание
- •Введение
- •1.Контрольные задания
- •2. Указания к решению типового варианта
- •2.1. Пример выполнения задания 1
- •2.2. Пример выполнения задания 2
- •2.3. Указания к заданию 3
- •2.3.1. Основные теоретические положения
- •Первый замечательный предел
- •Второй замечательный предел
- •Некоторые типы пределов
- •2.3.2. Пример выполнения задания 3
- •2.4. Указания к заданию 4
- •2.4.1. Основные теоретические положения
- •2.4.2.Пример выполнения задания 4
- •2.5. Указания к заданию 5
- •2.5.1. Основные теоретические положения
- •Производные функций, заданных параметрически
- •2.5.2. Пример выполнения задания 5
- •2.6. Пример выполнения задания 6
- •2.7. Пример выполнения задания 7
- •Список рекомендуемой литературы
2.3. Указания к заданию 3
2.3.1. Основные теоретические положения
При вычислении пределов необходимо помнить их свойства:
если существуют конечные , то
1.
т.е. предел суммы двух функций равен сумме пределов этих функций.
Замечание: Если , то это свойство не верно и имеем неопределенность .
2.
т.е. предел произведения двух функций равен произведению пределов этих функций.
Замечание: Если , то это свойство не верно и имеем неопределенность .
Если где то
т.е. постоянный множитель можно выносить за знак предела.
3.
т.е. предел частного двух функций есть частное пределов этих функций.
Замечание: Если или А=0, В=0, то это свойство не верно и имеем неопределенность или .
4. .
Замечание: Если , или , или , то это свойство не верно и имеем неопределенность , или или .
Первый замечательный предел
, неопределенность .
Следствия:
1. , 2. ,
3. , 4. ,
5., 6.
7. .
Второй замечательный предел
, неопределенность , .
Следствия:
1. , 2. ,
3. , 4. ,
5. , 6. .
Некоторые типы пределов
При вычислении предела вида можно выделить три случая:
1 случай: степень многочлена числителя меньше степени многочлена знаменателя (n < m), то такой предел равен 0;
2 случай: степень многочлена числителя больше степени многочлена знаменателя (n > m), то такой предел равен ;
3 случай: степени многочленов числителя и знаменателя равны (n=m), то такой предел равен отношению коэффициентов при старших степенях.
2.3.2. Пример выполнения задания 3
а) .
Подставляя вместо переменной , получим неопределенность вида , которая легко раскрывается, если и численность и знаменатель разложить на множители. Для разложения числителя найдем корни уравнения
,
Используя формулу получаем Выражение раскладывается как разность кубов, т.е. . Таким образом, получим
б) .
Имеем неопределенность вида . Чтобы ее раскрыть, вынесем и в числители и в знаменателе переменную в большей степени, т.е. , за скобку, получим
в)
г)
д)
е)
2.4. Указания к заданию 4
2.4.1. Основные теоретические положения
Для непрерывности функции f(x) в точке необходимо и достаточно выполнение условий:
-
функция f(x) должна быть определена в точке , т.е. можно вычислить значение ;
-
должны существовать и быть конечными односторонние пределы
-
.
Если все эти три условия выполнены, то точка непрерывности функции f(x).
Точки разрыва функции можно разделить на устранимый разрыв, точки разрыва первого и второго рода. У точек разрыва первого рода односторонние пределы должны существовать, быть конечными, но не равными друг другу. Если хотя бы один из односторонних пределов не существует или равен , то есть точки разрыва второго рода.
2.4.2.Пример выполнения задания 4
Исследовать данную функцию на непрерывность и построить ее график
Решение. Функция f(x) определена и непрерывна на интервалах , где она задана непрерывными элементарными функциями. Следовательно, разрыв возможен только в точках и
Для точки имеем:
т.е. функция f(x) в точке имеет разрыв первого рода.
Для точки находим:
т.е. функция f(x) в точке также имеет разрыв первого рода, т.к. односторонние пределы конечны, но не равны.
Построим график