3.4. Методи досліджень і розрахунків стоку

Гідрологічні розрахунки один із основних розділів інженерної гідрології. Гідрологічні розрахунки визначають норму річного стоку, максимальні витрати водопілля, повеней, мінімальні витрати.

Гідрологічною основою розрахунків стоку є дані гідрологічних спостережень, які отримують на гідрометричних станціях і постах. Гідрометричний метод доповнюють статистичними методами, які включають комплекс досліджень по виявленню ймовірності гідрологічних процесів на майбутні десятки і сотні років. Для теоретичного обґрунтування статистичного методу використовують граничні теореми теорії ймовірності. Відповідно одному із положень цих теорем до випадкових явищ застосовують закон великих чисел, із якого випливає, що для дуже великого числа випадкових однорідних явищ середній їх результат перестає бути випадковим і може бути передбаченим із великим ступенем визначеності. Друге положення теорем полягає в тому, що явища і події, які виникають під впливом суми великого числа незалежних або малозалежних випадкових факторів, утворюють сукупність, яка підкоряється статичним законам.

Коливання характеристик стоку не є функцією часу і не має визначених закономірностей. Ось чому неможливо встановити хронологічно хід стоку на майбутній період і коли будуть спостерігатися дані характеристики стоку.

Розглянемо середньорічні витрати (річний стік) величиною х_і за п років. Річні витрати розташуємо не в календарній послідовності, а в порядку зменшення, формуючи цим статистичний ряд даних. Такий ряд значень характеристики за обмежений період спостережень розглядається як вибірка із більш довгого ряду (генеральної сукупності). Якщо одні і ті самі витрати в календарному ряді зустрічаються декілька разів, їх декілька разів і записують, даючи при цьому відповідний порядковий номер.

Різниця між найбільшим х_тах і найменшим х_тіп значеннями в ряді є амплітудою. Амплітуду коливань середніх річних втрат розділяють на окремі інтервали, або градації, число яких визначають за формулою

, (3.9)

де п_х – число інтервалів;

п – число спостережень.

Після цього підраховують число попадань середніх річних витрат в кожний інтервал, при цьому сума випадків за всіма інтервалами повинна дорівнювати загальній кількості років спостережень п. Число величин в кожному інтервалі називають абсолютною частотою. Показуючи абсолютні частоти у відсотках від загальної кількості випадків, отримують відносні частоти. Сума відносних частот дорівнює 100 %. За значеннями відносно х частот будують графік – гістограму розподілення (рис. 3.1).

Рис. 3.1. Гістограма.

Найменша кількість членів ряду потрапляє у перший і останній інтервали, тобто максимальні і мінімальні значення мають низку ймовірності появи, частота при наближенні до середнього інтервалу збільшується, тобто збільшується повторюваність їх появи.

За нескінченого збільшення кількості інтервалів ступінчаста гістограма розподілення перетворюється в плавну криву розподілення ймовірностей, яку називають кривою повторення. Послідовним підсумуванням відносних частот у межах виділених інтервалів, починаючи від найбільшого значення отримують сумарну (інтегральну) криву розподілення ймовірностей, яку називають кривою забезпеченості. Крива забезпеченості показує, яка ймовірність перевершення даного значення статистичного ряду, тобто це закон розподілення середнього річного стоку (частота появи характеристики, що вивчається).

Ймовірність перевершення або забезпеченість характеристики Р_т (%), що займає місце т у статистичному ряді, дорівнює

. (3.10)

Із збільшенням кількості років спостереження (в межах до нескінченності) одержують теоретичну ймовірність перевершення величини, що досліджується

. (3.11)

Рис. 3.2. Інтегральна крива розподілення ймовірності.

Розрахунок емпіричної щорічної ймовірності перевершення проводять за формулою Кривицького-Менкеля

. (3.12)

Емпірична щорічна ймовірність перевершення дозволяє підраховувати ймовірну частоту появи або повторюваність в роках. Під повторюваністю гідрологічної величини розуміють кількість років N, протягом яких ця характеристика повторюється в середньому один раз.

, якщо Р 50 %;

(3.13)

, якщо Р50 %.

Для практичних задач з метою згладжування і екстраполяції емпіричних кривих розподілення застосовують типові математичні криві, які повніше відображають характер зміни гідрологічних характеристик.

Форма кривої повторюваності в залежності від формування статистичної сукупності може бути симетричною або асиметричною. За симетричного розподілення частоти будь-яких двох значень характеристик, рівновіддалених від середнього значення, рівні між собою. Всі три характерні точки (центр, медіана і мода) співпадають. Параметрами симетричної кривої повторюваності є середнє арифметичне і середнє квадратичне відхилення (коефіцієнт варіації). Середнє арифметичне змінної величини – це значення (центр), відносно якого розподіляються члени даного статистичного ряду

, (3.14)

де х_і – значення величини, що розглядається (і=1, 2,…п);

п – кількість членів ряду.

Рис. 3.3. Крива повторюваності: точка 1 – центр розподілення, відповідає середньому значенню ряду; 2 – медіана, розділяє ранжирований ряд на дві рівні частини; 3 – мода – найбільше число випадків даного явища, визначає максимальну частоту випадкової величини. Відповідні характерні точки ординати називають центральною, медіанною і модальною.

За безмежного збільшення числа членів статистичного ряду середнє арифметичне наближається до середнього арифметичного генеральної сукупності, яку називають математичним сподіванням.

Середнє квадратичне відхилення, або стандарт, визначають за формулою

. (3.16)

Середнє квадратичне відхилення _х відрізняється від дійсного значення _g на величину середньої помилки , яка виникає внаслідок недостатньої довжини гідрологічного ряду.

, (3.16)

де .

Величина помилки середнього квадратичного відхилення ряду зменшується при збільшенні кількості членів ряду. Якщо п30, то помилку можна не враховувати. Розрахунок можна вести за формулою (3.15), а якщо п30, то за формулою (3.16).

Для порівняння ступеня мінливості виражають середнє квадратичне відхилення в долях від середнього арифметичного значення. Це відношення називають коефіцієнтом варіації (мінливості):

. (3.17)

В гідрологічних розрахунках коефіцієнт варіації (п30 ) обраховують за формулою

. (3.18)

Несиметричні криві розподілення ряду характеризуються трьома параметрами: середнім арифметичним, коефіцієнтом варіації і середнім значенням відхилення членів ряду від його середнього арифметичного значення в кубі (або коефіцієнта асиметрії)

. (3.19)

Безрозмірну характеристику мінливості отримують діленням значення кубів відхилень на куб середнього квадратичного відхилення і отримують коефіцієнт асиметрії:

(3.20)

Оскільки всі параметри обраховують за обмеженою вибіркою даних, то розрахунки мають випадкові і систематичні помилки.

Випадкові помилки залежать від прийнятого закону розподілення кількості параметрів, послідовності багаторічних коливань гідрологічних характеристик.

Систематичні помилки – це наслідок неточної відповідності даного явища прийнятому закону розподілення. Випадкові помилки в гідрології визначаються середнім квадратичним відхиленням – стандартними помилками оцінювання. Стандартну помилку середнього арифметичного визначають за залежністю

, (3.21)

де  - стандартне відхилення, яке обраховане за формулою (3.15);

п – кількість членів ряду.

Стандартна помилка коефіцієнта мінливості (варіації) визначається за формулою

. (3.22)

Гідрологічні процеси обумовлені великою кількістю факторів. Наприклад, висота водопілля визначається не лише запасами води в снігу, але і кількістю весняних опадів, вологістю ґрунту, наявністю льодової кірки на ґрунті, тощо.

Оскільки всі ці фактори врахувати неможливо, то залежність між максимальним рівнем води водопілля і запасами води в снігу має наближений характер.

Зв’язки, що спостерігаються між гідрологічними явищами, є не функціональними, а кореляційними (взаємозв’язаними). При кореляційній залежності кожному значенню незалежної змінної х відповідає безліч значень іншої величини у функції, яку описує умовна крива розподілення. За функціональної залежності кожному значенню аргументу х відповідає одне значення у.

Кількісна оцінка ступеня зв’язаності двох змінних величин х і у характеризується коефіцієнтом кореляції R

. (3.23)

Коефіцієнт кореляції змінюється в межах від -1 до +1.

Позитивні значення коефіцієнта кореляції свідчать про прямий зв’язок, коли обидві виличини х та у збільшуються або зменшуються одночасно. Негативні значення вказують на зростання х при зменшенні у і навпаки; це свідчить про зворотний зв’язок. Якщо зв’язок між змінними відсутній, то R=0. Зв’язок достатньо близький, коли R0,8.

Середню квадратичну похибку коефіцієнта кореляції (п25) визначають за формулою

. (3.24)

За малої кількості членів ряду  оцінку вірогідності коефіцієнта кореляції необхідно проводити визначенням коефіцієнта вірогідності, який є відношенням коефіцієнта кореляції до середньої квадратичної похибки К_g

. (3.25)

Якщо K_g1, то кореляція відсутня; 3К_g 1 – існує тенденція зв’язку цих величин; K_g3 – свідчить про вірогідність коефіцієнта кореляції.