5 Модуль вектора

По определению модуль вектора (vector magnitude) равен квадратному корню из суммы квадратов его элементов. Он обозначается тем же символом, что и определитель матрицы.

6 Скалярное произведение векторов

Скалярное произведение векторов (vector inner product) определяется как скаляр, равный сумме попарных произведений соответствующих элементов. Векторы должны иметь одинаковый размер. Скалярное произведение двух векторов и равно , где – угол между векторами. Если векторы ортогональны, их скалярное произведение равно 0. Обозначается скалярное произведение тем же символом умножения. Никогда не применяйте для обозначения скалярного произведения символ ×, который является общеупотребительным символом векторного произведения.

Пример:

7 Векторное произведение

Векторное произведение (cross product) двух векторов и с углом между ними равно вектору с модулем , направленным перпендикулярно плоскости векторов и . Обозначают векторное произведение символом ×, который можно ввести нажатием кнопки CrossProduct (Векторное произведение) на панели Matrix (Матрица) или сочетанием клавиш Ctr + 8.

Пример:

8 Сумма элементов вектора и след матрицы

Иногда бывает нужно вычислить сумму всех элементов вектора. Для этого существует вспомогательный оператор, задаваемый кнопкой VectorSum (Сумма вектора) на панели Matrix (Матрица) или сочетанием клавиш Ctrl + 4. Этот оператор чаще оказывается полезным не в векторной алгебре, а при организации циклов с индексированными переменными.

Сумму диагональных элементов квадратной матрицы называют следом (trace) матрицы. След можно найти с помощью функции tr:

tr(A) – след квадратной матрицы A.

Задание: Найдите след квадратной матрицы A = .

Решение:

9 Обращение квадратной матрицы

Поиск обратной матрицы возможен, если матрица квадратная, и ее определитель не равен нулю. Произведение исходной матрицы на обратную по определению является единичной матрицей. Для ввода оператора поиска обратной матрицы нажмите кнопку Inverse (Обратная матрица) на панели инструментов Matrix (Матрица).

10 Возведение матрицы в степень

К квадратным матрицам можно формально применять операцию возведения в степень . Для этого должно быть целым числом. Ввести оператор возведения матрицы в степень можно точно так же, как и для скалярной величины: нажав кнопку Raise to Power (Возвести в степень) на панели Calculator (Калькулятор) или клавишу ^. После появления местозаполнителя в него следует ввести значение степени .

11 Символьные преобразования

Все матричные и векторные операторы, о которых шла речь выше, допустимо использовать в символьных вычислениях. Мощь символьных операций заключается в возможности проводить их не только над конкретными числами, но и над переменными.

Пример:

12 Генераторы матриц

Самым наглядным способом создания матрицы или вектора является применение первой кнопки панели инструментов Matrix (Матрицы). Однако в большинстве случаев, в частности, при программировании сложных проектов, удобнее бывает создавать массивы с помощью встроенных функций.

12.1 Создание матрицы на основе функции

Matrix(M, N, f) – создание матрицы размера , каждый , элемент которой есть f(i, j), где:

1. M – количество строк;

2. N – количество столбцов;

3. f(i, j) – функция.

12.2 Генерация матриц специального вида

В Mathcad легко создать матрицы определенного вида с помощью одной из встроенных функций:

1. identity(N) – единичная матрица размера ;

2. diag(V) – диагональная матрица, на диагонали которой находятся элементы вектора V;

3. geninv(A) – создание матрицы, обратной матрице А;

4. rref(A) – преобразование матрицы или вектора A в ступенчатый вид, где:

N – целое число;

V – вектор;

A – матрица из действительных чисел.

Примечание: Размер матрицы A для функции geninv должен быть таким, чтобы .