Темы вопросов:

41. Оценка параметров генеральной совокупности по ее выборке. 2

42. Корреляция и регрессия. 4

43. Задача линейного программирования. Основные составляющие. 6

44. Двойственные задачи. Основные понятия. 8

45. Игра. Основные понятия. Формальное представление игр. 10

46. Матричные игры. 11

47. Антагонистические игры. 12

41. Оценка параметров генеральной совокупности по ее выборке.

Пусть имеется генеральная совокупность, каждый объект которой наделен количественным признаком X. При случайном извлечении объекта из генеральной совокупности становится известным значение x признака X этого объекта. Мы можем рассматривать извлечение объекта из генеральной совокупности как испытание, X – как случайную величину, а x – как одно из возможных значений X.

Определение. Генеральной средней (или a) называется среднее арифметическое значений признака генеральной совокупности.

Если все значения признака генеральной совокупности объема N различны, то .

Если же значения признака имеют соответственно частоты , причем , то

или (1)

Пусть все значения различны. Так как каждый объект может быть извлечен с одной и той же вероятностью , то

, т.е. (2)

В случае непрерывного распределения признака X по определению полагают .

Определение. Выборочной средней (или a) называется среднее арифметическое значений признака выборочной совокупности.

Если все значения признака выборки по объема n различны, то .

Если же значения признака имеют соответственно частоты , причем , то

или (3)

Разумеется, выборочная средняя для различных выборок того же объема n из той же генеральной совокупности будет получаться различной. Всевозможные могущие получиться выборочные средние есть возможные значения случайной величины , которая называется выборочной средней случайной величиной.

Можно показать, что , а .

Для практических целей используют формулу (4)

Константу C (так называемый ложный нуль) берут такой, чтобы, во-первых, разности были небольшими и, во-вторых, число C было по возможности «круглым».

Генеральная и выборочная дисперсия.

Определение. Генеральной дисперсией называют среднее арифметическое квадратов отклонений значений признака X генераль. совокупности от генераль. средней .

Если все значения признака генераль. совокупности объема N различны, то

(5)

Если же значения признака имеют соответственно частоты , причем , то

(6)

Генеральным средним квадратическим отклонением (стандартом) называется .

В случае непрерывного распределения признака X по определению полагают , поэтому можно записать , .

Величину называют средней квадратической ошибкой.

Определение. Выборочной дисперсией называется среднее арифметическое квадратов отклонений наблюдаемых значений признака X от выборочной средней .

(7) – для различных значений признака выборки.

(8) – при наличии у признака выборки частот.

Выборочную дисперсию, рассматриваемую нами как случайную величину, будем обозначать (9).

Теорема. Математическое ожидание выборочной дисперсии равно , т.е. (10).

Для практических целей (когда - большие числа) формулы (7) и (8) преобразуют к следующему виду:

(11) , где C – ложный нуль.

Определение. Доверительным интервалом называют найденный по данным выборки интервал , который показывает параметр с заданной надежностью .

Надежность обычно принимают равной 0,95, или 0,99, или 0,999.

При известном очень часто на практике применяется формула при заданной надежности.

, или , .

Найдя из последнего равенства , можно написать .