Лекция 39

Лекция 39. Понятие определенного интеграла. Теорема о существовании определенного интеграла. Свойства определенного интеграла. Вычисление определенного интеграла. Формула Ньютона-Лейбница.

Задачи, приводящие к понятию определенного интеграла

Определенные интегралы, как и неопределенные интегралы, введены в математику Ньютоном и Лейбницем. К понятию неопределенного интеграла их привела проблема нахождения первообразных для заданной функции, то есть задача, обратная задаче нахождения производных функций. А к понятию определенного интеграла их привела совсем другая проблема - проблема точного решения ряда фундаментальных для практики числовых задач, к рассмотрению которых мы сейчас и переходим.

1.Задача о вычислении площади произвольной криволинейной трапеции.

Рассмотрим рис. 1(а), где – некоторая непрерывная на функция.

Заштрихованная на этом рисунке фигура называется криволинейной трапецией. А S - площадь этой трапеции. Поставим, вслед за Ньютоном и Лейбницем, задачу: вывести формулу для площади S этой трапеции при заданных a, b и f(x).

Решение. Разобьем мысленно отрезок оси ох (основание трапеции) на бесконечно малые участки, как это показано на рис. 1(б). Для простоты будем считать их одинаковыми по длине. Эту бесконечно малую длину каждого участка обозначим символом dx. Если через концы этих участков провести вертикальные прямые, то вся криволинейная трапеция разобьется на бесконечно большое число бесконечно узких вертикальных полосок шириной dx. Рассмотрим одну из таких полосок (любую), и найдем ее площадь dS (см. рис. 1(б)).

Возьмем в основании полоски некоторую произвольную точку х. Так как полоска бесконечно узкая (то есть она представляет собой вертикальную нить), то х – это точка, являющаяся основанием этой нити. Согласно рис. 1(б), площадь dS рассматриваемой полоски (нити) можно найти, умножив ее высоту f(x) на ширину dx. То есть

dS = f(x)dx (1)

Впрочем, такой была бы площадь dS полоски, если бы полоска была прямоугольником с основанием dx и высотой f(x). Но наша полоска имеет сверху криволинейную границу, а f(x) - высота, на которой находится лишь одна из точек (точка М) этой границы. Все остальные точки указанной верхней границы полоски находятся, вообще говоря, на другой, хоть и близкой к f(x), высоте. Так что формула (1) для площади каждой из полосок, на которые мы мысленно разбили криволинейную трапецию, не точная, а приближенная. Но очевидно, чем уже полоска, тем точнее формула для ее площади dS. А так как наша полоска (как и все остальные) не просто узкая, а бесконечно узкая, то мы вправе считать формулу (1) точной.

Складывая теперь площади dS всех вертикальных полосок, найдем, причем точно, и всю площадь S криволинейной трапеции:

(2)

Эта сумма необычная: слагаемые в ней бесконечно малые, а число слагаемых бесконечно велико (S - сумма бесконечно большого числа бесконечно малых слагаемых). Этой сумме Лейбниц дал специальное обозначение.

(3)

и назвал ее определенным интегралом от функции f(x). Здесь f(x)– подынтегральная функция; f(x)dx - подынтегральное выражение; x – переменная интегрирования; a и b - пределы интегрирования (нижний и верхний).

Итак, согласно (2) и (3),

(4)

- площадь криволинейной трапеции, изображенной на рис. 1(а).

2. Задача о вычислении пути при переменной скорости движения.

Пусть некоторая материальная точка движения по некоторой траектории с известной в каждый момент времени переменной скоростью Требуется получить формулу для пути (перемещения), пройденного точкой по траектории своего движения с некоторого данного момента времени до некоторого данного момента времени .

Решение. Если бы скорость движения точки была постоянной, то поставленная задача никакого труда бы не представляла: путь равен скорости, умноженной на время. То есть . Но у нас скорость точки переменная (в разные моменты времени она разная). Для такого случая разобьем мысленно временной промежуток на бесконечно малые промежутки времени и найдем путь , проходимый точкой за каждое время .

Рассмотрим один из промежутков (любой) и выберем на этом промежутке некоторую точку (некоторый момент времени) . В этот момент времени скорость движения точки равна (рис.2). Практически такой же, в силу малости , она будет в других точках (в другие моменты времени) этого же промежутка времени. То есть можем считать, что в течение времени точка движется практически с постоянной скоростью . А тогда путь , пройденный точкой за время , найдется по формуле:

(5)

Впрочем, таким был бы путь , если бы в течение времени точка двигалась строго с постоянной скоростью . Но эта скорость хоть и незначительно, но все же меняется в течение времени . Поэтому формула (5) не точная, а приближенная. Однако очевидно, что с уменьшением времени она будет становиться все точнее и точнее. А так как наш промежуток времени не просто мал, а бесконечно мал, то мы вправе считать формулу (5) точной.

Складывая теперь пути , пройденные точкой за все промежутки времени , найдем, причем точно, и общий путь (общее перемещение точки по траектории ее движения) за время от момента до момента :

(6)

Формула (6) по своей структуре совершенно аналогична формуле (2). Она, как и формула (2), представляет собой сумму бесконечно большого числа бесконечно малых слагаемых. То есть представляет собой определенный интеграл вида (3):

(7)

Итак, получаем окончательно: если - переменная скорость движения точки, то перемещение , пройденное точкой по траектории ее движения, найдется по формуле:

(8)