- •7. Временные ряды
- •7.1. Структура и особенности временных рядов
- •7.2. Предварительный анализ исходных вр
- •7.2.1. Выявление и устранение аномальных наблюдений
- •7.2.2. Методы выявления тренда во вр
- •7.2.3. Методы сглаживания вр
- •7.2.4. Оценка автокорреляции во вр
- •Данные для расчета автокорреляции
- •7.3. Формирование набора моделей прогнозирования
- •7.3.1. Методология экономического прогнозирования
- •7.3.2. Кривые роста и их выбор
- •1. Полиноминальные кривые роста
- •Экспоненциальные кривые роста
- •Выбор вида кривой роста
- •7.4. Численное оценивание параметров моделей
- •Исходные данные задачи
- •Расчетная таблица задачи
- •7.5. Проверка качества моделей
- •7.5.1. Адекватность модели
- •Интервальные оценки критерия Дарбина-Уотсона
- •7.5.2. Точность модели
- •7.6. Построение точечного и интервального прогнозов
- •7.7. Пример расчета вр и прогноза по этому ряду
- •Исходные данные вр
- •Расчетные данные для вр
- •7.8 Адаптивное прогнозирование
- •Расчет скорректированных значений a0(t) и a1(t)
- •Прогнозные оценки по модели Брауна
-
Экспоненциальные кривые роста
- простая экспонента;
- модифицированная экспонента,
где а, 0 < b < 1 – постоянные числа; k = const – асимптота функции.
Для простой экспоненты:
Экспоненту можно преобразовать в линейную зависимость посредством логарифмирования:
3. S-образные кривые роста характеризуют процессы, которые сначала растут медленно, затем ускоряются, а затем снова замедляют свой рост, стремясь к какому – либо пределу, например, ввод некоторого объекта в промышленную эксплуатацию. Среди S-образных кривых роста наиболее известна кривая Гомперца:
где a, 0 < b < 1 – положительные параметры; k – асимптота.
Кроме того, часто используется логистическая кривая (кривая Перла-Рида):
,
где a, b – положительные параметры; k – асимптота.
Конфигурация графика логистической кривой близка к графику кривой Гомперца, т.е. напоминает букву S, но в отличии от последней логистическая кривая имеет точку симметрии, совпадающую с точкой изгиба.
Для выбора вида полиноминальной кривой роста рекомендуется метод конечных разностей (метод Титнера), если уровни ВР состоят только из тренда и случайной компоненты, причём тренд является достаточно гладким.
-
Вычисляются разности до k – го порядка (обычно до 4 – го порядка)
……………….
-
Вычисляются дисперсии для ВР и для каждого разностного ряда. Для ВР по формуле:
а для разностного ряда k -го порядка (k = 1, 2, …) по формуле:
где – биноминальный коэффициент (число сочетаний).
-
Вычисляются величины
до тех пор, что при каком -то значении k будет выполняться неравенство
где D – заданное число.
В этом случае степень аппроксимирующего полинома должна быть равна (k – 1).
Более универсальным является метод характеристик прироста, который до этого сглаживается методом простой скользящей средней с интервалом m=3. В этом случае уровни рассчитываются по формуле:
а первый и последний уровни по формулам:
Затем вычисляются первые средние приросты:
вторые средние приросты:
и ряд производных величин:
В соответствии с полученными результатами делается выбор вида кривой роста для исходного ВР по таблице (таблица 7.4).
Таблица 7.4
Выбор вида кривой роста
Показатель |
Характер изменения показателя во времени |
Вид кривой роста |
Первый средний прирост |
Примерно одинаковы |
Полином первого порядка (прямая) |
Первый средний прирост |
Изменяются линейно |
Полином второго порядка (парабола) |
Второй средний прирост |
Изменяются линейно
|
Полином третьего порядка (кубическая парабола) |
Примерно одинаковы
|
Простая экспонента |
|
Изменяются линейно
|
Модифицированная экспонента |
|
Изменяются линейно
|
Кривая Гомперца |
|
Изменяются линейно
|
Логистическая кривая |