Определение предела функции
Число называется пределом функции при , если для любого сколь угодно малого найдется , такое что для всех значений , удовлетворяющих неравенству , выполнено неравенство .
При этом пишут или . В символах математического анализа определение может быть записано так:
.
Выше приведено определение для случая конечных значений и . Оно может быть переделано для случаев, когда или обращаются в бесконечность . При этом соответствующие неравенства должны быть заменены на неравенства типа , если , ,если , , если и т.п.
Переменная величина называется бесконечно малой величиной при , если .
Пусть , где – конечные числа, – любое конечное число или бесконечность.
Теоремы о пределах:
-
.
-
.
-
Если .
-
Пусть – конечное число. Тогда:
а)
б)
в) .
5. Пусть , тогда . ●
Функция называется непрерывной в точке , если она определена в этой точке и . Для непрерывной функции возможен переход к пределу под знаком функции.
Предельные переходы, содержащие нуль или бесконечность, при кратко можно записать так:
, (1)
где выражение, заключенное в квадратные скобки, понимается как предельное значение. Выражения вида:
, (2)
─ называются неопределенностями, что означает, что нельзя дать ответ, используя правила (1), Например, рассмотрим три функции: при . Отношение любых двух функций из указанных трех приводит к неопределенности . Однако, пределы этих отношений различны, например:
, ,.
Неопределенности (2) всегда можно перевести из одной в другую. Кроме указанных выражений неопределенностями являются предельные выражения:
.
При вычислении пределов сначала подставляется предельное значение переменной. Если выполнены условия теорем, то сразу получаем ответ. Если при подстановке получается неопределенность, то следует предварительно преобразовать выражение, а затем подставить предельное значение.
Рассмотрим несколько примеров на вычисление пределов.
1. .
2. .
3. .
4. .
5. .
6. .
7. .
8. .
9. .
10..
11. .
12. .
13.
В примерах 1─3,6─8 можно сразу записать ответ. В остальных примерах первая подстановка приводит к неопределенности, поэтому: сначала проводим преобразование. Так в примере 13 мы умножили числитель и знаменатель на сопряженное выражение, что позволило затем сократить дробь. Обратите внимание, что выражение , и это позволило вынести множитель за знак предела.
Проанализировав решения примеров 9–11, замечаем, что при вычислении пределов типа , приходим к пределу отношения членов со старшими степенями. Окончательный ответ зависит от соотношения степеней. Аналогичная ситуация и для выражений, содержащих дробные степени или радикалы.
Например, вычисляя , приходим к неопределенности . Выбрав в числителе и знаменателе слагаемые со старшими степенями . получаем решение:
.