19.3. Вычисление определенных интегралов

Известно, что определенный интеграл некоторой функции на f(x) интервале [a,b] равен площади фигуры, ограниченной кривой f(x), осью х и вертикальными линиями, проходящими через границы интервала. Вычисление такого интеграла приближенными методами предполагает замену указанной фигуры более простыми, площади которых можно найти по формулам, применяемым в элементарной геометрии. Очевидно, что чем меньше размеры элементарных фигур — тем точнее результат. Если разность между двумя последовательными приближениями окажется меньше заданной погрешности Е, то последнее значение можно считать результатом.

Общий алгоритм вычисления определенного интеграла можно представить следующим образом.

Алгоритм

1. Ввести a, b и Е.

2. Вычислить начальное значение площади (приближение).

3. Повторять

Вычислить очередное приближение

Пока абсолютная величина разности между соседними приближениями не будет меньше или равна Е.

4. Закончить.

В качестве элементарных фигур, которыми заменяется исходная, наиболее часто используют прямоугольники или трапеции. Соответственно методы приближенного вычисления определенного интеграла называют:

1. Метод прямоугольников и

2. Метод трапеций.

19.3.1. Метод прямоугольников

Метод основан на замене площади сложной фигуры суммой площадей прямоугольников, высота которых равна значению функции f(x), а ширина — hx, шагу по оси х. Очевидно, что чем меньше шаг, тем точнее аппроксимация. Площадь элементарного прямоугольника равна f(x)* hx.

Алгоритм вычисления определенного интеграла рассматриваемым методом может быт таким.

1. Ввести a, b и Е.

1. Начальное значение шага hx = (b-a)/n, где n — начальное количество точек;

2. Вычислить площадь S₁ =  S_{прямоуг} (hx)

3. Повторять

   1. hx := hx / 2;

   2. Вычислить площадь S₂ =  S_{прямоуг} (hx);

   3. Y:= | S₂ - S₁|;

   4. S₁:= S₂

Пока не будет y  Е.

2.4. Вывести S₂.

3. Закончить.

В приведенном алгоритме дважды вычисляется сумма площадей элементарных прямоугольников. Эту операцию можно оформить в виде процедуры или функции. Программа, которая реализует описанный алгоритм с использованием функции f(x) и процедуры вычисления площади методом прямоугольников приведена ниже.

Program Integral;

Const

n= 20; { начальное количество точек на интервале }

Var

a, b, hx, s1, s2, E, y : Real;

Function f(x: Real): Real;

Begin

f:= { здесь должна быть формула для вычисления функции}

End;

Procedure S_Rect(a,b,h:Real; Var S:Real);

{ вычисление интеграла методом прямоугольников }

{ a и b — границы интервала, h — шаг по оси х }

{ S — результат }

Var

X: Real;

Begin

S:=0;

X:=a;

While x<b do

Begin

S:= S + f(x)*h;

x:= x+h;

End;

End;

Begin

{ основная программа }

Writeln('Введите интервал и погрешность');

Readln(a, b, E);

{ Начальный шаг }

hx:=(b-a)/n;

{ Начальное значение интеграла (площади) }

S_Rect(a,b,hx,s1);

{ Вычисление очередных приближений }

Repeat

hx:=(b-a)/2;

S_Rect(a,b,hx,s2);

y:=Abs(s2-s1);

s1:=s2;

Until y <= E;

Writeln('Интеграл = ', s2 :10:6);

Writeln('Работа окончена');

Readln;

End.