Аналитическая геометрия на плоскости

Аналитическая геометрия – это раздел математики, изучающий геометрические образы алгебраическими методами.

Метод координат на плоскости

Метод координат заключается в установлении соответствия между точками прямой (плоскости, пространства) и их координатами – действительными числами при помощи системы координат.

Прямоугольная система координат

Прямоугольная система координат Oxy на плоскости задается двумя взаимно перпендикулярными прямыми, на каждой из которых выбрано положительное направление и задан единичный отрезок. Эти прямые называются осями координат. Одну из осей называют осью абсцисс и обозначают Ox, другую осью ординат (Oy).

Единичные векторы осей Ox и Oy обозначают соответственно и . Если - произвольная точка плоскости, то вектор называется радиус-вектором точки .

Координатами точки в системе координат Oxy называются координаты радиус-вектора .

Если , то координаты точки записывают так: ; при этом число называется абсциссой точки , а число - ординатой точки .

Координаты точки полностью определяют ее положение на плоскости: каждой паре чисел и соответствует единственная точкаплоскости, и наоборот.

Расстояние между двумя точками и на плоскости вычисляется по формуле

(1)

Координаты точки , делящей в заданном отношении отрезок , где и (), находятся по формулам

, (2)

В частности, при (точка делит отрезок пополам), получаются формулы координат середины отрезка

, (3)

Площадь треугольника с вершинами вычисляется по формуле

(4)

Полярная система координат

Полярная система координат задается точкой , называемой полюсом, лучом , называемым полярной осью, и единичным вектором того же направления, что и луч .

Положение точки на плоскости определяется двумя числами: ее расстоянием от полюса и углом , образованным отрезком с полярной осью (рис. 1) и отсчитываемым в положительном направлении.

Числа и называются полярными координатами точки : называют полярным радиусом, - полярным углом.

Если рассматривать значения в промежутке , а значения в (или ), то каждой точке плоскости (кроме ) соответствует единственная пара чисел и , и наоборот.

Если совместить полюс с началом координат системы , а полярную ось – с положительной полуосью (рис.2),

то связь между полярными и прямоугольными координатами точки (кроме точки ) устанавливается формулами:

(5)

и

(6)

Откуда, в частности , где .

Уравнение линии на плоскости

Уравнением линии (кривой) на плоскости называется уравнение , которому удовлетворяют координаты и каждой точки этой линии и только они. Переменные и в уравнении линии называются текущими координатами точек линии.

Задача о нахождении точек пересечения двух линий, заданных уравнениями и , сводится к решению системы двух уравнений с двумя неизвестными

(7)

Аналогично вводится понятие уравнения линии в полярной системе координат: .

Линию на плоскости можно рассматривать как траекторию пути, пройденного точкой, движущейся по какому-нибудь закону. Если абсцисса точки изменяется по закону , а ордината – по закону , где - переменная, называемая параметром, то уравнение линии записывается в виде

(8)

Эти уравнения называются параметрическими уравнениями линии.

Линию на плоскости можно задать векторным уравнением , где - скалярный параметр: при изменении конец вектора описывают некоторую линию, называемую годографом (рис.3). Параметрические уравнения годографа .

Рис.3