- •Основные положения теории динамических расчётов деформируемых систем с конечным числом степеней свободы масс
- •1.1. Термины, понятия и определения
- •1.2. Основные символы и обозначения
- •1.3. Предпосылки и гипотезы динамического расчёта. Принципиальная расчётная модель деформируемой системы с сосредоточенными массами
- •1.4. Степени свободы масс
- •1.5. Уравнения динамики деформируемых систем с конечным числом степеней свободы масс
- •1.5.1. Уравнения для общего случая движения
- •1.5.1.1. Использование матрицы податливости системы
- •1.5.1.2. Уравнения движения с матрицей жёсткости системы
- •1.5.2. Систематизация и анализ вариантов уравнений динамики
- •1.5.3. О численном решении уравнений динамики систем с конечным числом степеней свободы масс
- •1.5.4. Свободное движение и собственные колебания
- •1.5.4.1. Уравнения свободного движения, их решение;
- •1.5.4.2. Характеристическое ( частотное ) уравнение;
- •Дополнительные сведения о собственных векторах j и y
- •1.5.4.4. Расчёт на собственные колебания
- •1.5.5. Вынужденное движение; установившиеся колебания от вибрационных воздействий
- •1.6. Обобщённые перемещения, группировка неизвестных и учет симметрии в динамических расчётах
- •1.7. О приближённом определении частот
- •2. Некоторые инженерные приложения динамики систем с конечным числом степеней свободы масс
- •2.1. Кинематическое возбуждение движения деформируемой системы. Понятие о расчёте на сейсмические воздействия
- •2.2. Понятие об аэроупругости и расчётах сооружений на ветровые нагрузки
- •2.3. Защита сооружений и конструкций от динамических воздействий
- •3. Примеры динамических расчётов статически неопределимых стержневых систем с сосредоточенными массами
- •Задача 3.1. Расчёт плоской стержневой системы на собственные и вынужденные колебания
- •3.1.1. Динамический расчёт рамы
1.6. Обобщённые перемещения, группировка неизвестных и учет симметрии в динамических расчётах
В динамических расчётах возможно, а в некоторых случа-ях – рационально и иногда даже необходимо вместо истинных перемещений масс y(t) = [ y1(t) y2(t) … yn(t) ]т использовать их выражения через некоторые другие величины, в частности, пе-ремещения , причём зависимость меж-ду y(t) и представляется в форме линейного преобразования вектора в вектор y(t):
, ( 1.101 )
где – прямоугольная матрица преобразования векторов:
. . . . . . . . . . . .
Величины , через которые по ( 1.101 ) полностью оп-
ределяются перемещения всех масс системы и которые, следо-вательно могут истолковываться как степени свободы масс, в механике называются обобщёнными координатами и обознача-ются q (t). В рассматриваемых далее задачах динамики деформи-руемых систем это обозначение не применяется из-за совпадения с интенсивностью распределённой динамической нагрузки.
С учётом указанного смысла величин будем называть
их обобщёнными перемещениями. В общем случае .
y3
(t)
г
y2
(t)
y4
(t)
перемещений системы показы-
в
y5
(t)
выражены через два парамет-
р
y1(t)
=
роль обобщённых перемещений:
l l
l
/2
l
/2
y3(t) = y4(t) = ( l / h );
y5(t) = 0,5 [+]
или в форме ( 1.101 ): Рис. 1.37
это случай, когда
n
>
n0
(
n
=
5, n0
=
2
).
y
(x,t)
y (x, t) по длине стержня. При
описании его оси в деформиро-
в
мени t, по предложению акад.
В
x
ч
l
/4
l
/4
l
/4
l
/4
элемента постоянного сечения,
в виде кубического полинома Рис. 1.38
y (x, t) = a0 (t) + a1 (t) x + a2 (t) x2 + a3 (t) x3 из граничных условий y (0, t) = y ’(0, t) = – y (l, t) = y ’(l, t) = – имеем
, тогда перемещения
как
(
3х4
)
Использованный во втором примере приём аппроксимации истинных перемещений некоторой заранее выбираемой функци-ей типичен для метода конечных элементов.
Зависимости ( 1.102 ) и ( 1.103 ) выражают действительные перемещения масс y (t) через обобщённые перемещения ( коор-
динаты ) . Обратная процедура – отыскание по найден-
ным каким-либо способом y (t) – при n > n0 и n < n0 невозможна ( матрица, обратная , не существует ). Но в тех достаточно рас-
пространённых задачах, где n = n0 , векторы y (t) и, имеющие равные количества компонентов, связываются друг с другом квадратной матрицей . В этом случае наряду с прямой зависи-мостью ( 1.101 ) справедлива и обратная , если –
невырожденная ( Det () 0 ). При этом величины , пред-
ставляемые в виде линейных комбинаций ( групп ) исходных ( дей-ствительных ) y (t), называются групповыми неизвестными. При назначении компонентов ik следует руководствоваться сообра-жениями упрощения расчёта, к сожалению, не всегда очевидны-ми ( далее будут рассмотрены случаи, когда для формирования матрицы удаётся использовать простые физические представ-ления ).
В динамическом расчёте, кроме обобщённых ( или группо-
вых ) перемещений , фигурируют соответствующие им обоб-
щённые ( групповые ) инерционные силовые факторы и порождающие их обобщённые ( приведённые ) массы . Для по-
лучения их выражений через действительные ( исходные ) массы используем физические зависимости Д’Аламбера
J(t) = – ( 1.104 )
и ( 1.105 )
и теорему Бетти о взаимности возможных работ для одного и того же равновесного ( по Д’Аламберу ) состояния системы в мо-мент времени t , описанного парами двойственных величин – y (t) и J(t), и: ( 1.106 )
Подставив ( 1.104 ) и ( 1.105 ) в ( 1.106 ), имеем
или, учитывая ( 1.101 ): , откуда
и окончательно . ( 1.107 )
Из ( 1.106 ) находим также. ( 1.108 )
Для системы по рис. 1.37 при трёх одинаковых массах по m
и
diag
[ m
m
m
m
m
]
по (1.108): .
В задаче для стержня по рис. 1.38 при средней массе 2m и двух других по m матрица приведённых ( обобщённых ) масс
Для обоих примеров характерно то, что матрица приведён-ных масс – симметричная, но недиагональная. Эта её особен-ность обусловлена введением в рассмотрение обобщённых ( груп-повых ) перемещений и соответствующих им инерционных си-ловых факторов, порождаемых не отдельными массами, а груп-пами масс. Отметим, что исходные перемещения и силы инер-ции сами по себе сразу могут рассматриваться как групповые. Так, в показанной на рис. 1.37 раме с тремя одинаковыми мас-сами можно обнаружить группу взаимосвязанных перемещений в составе y1(t) = y2(t) и y3(t) = y4(t) = (l /h) y1(t) и группу сил инерции, составляющих единое целое и выражаемых через один общий параметр: две равные вертикальные силы инерции J1 (t) = = J2 (t) и горизонтальные J3 (t) = J4 (t) = (l /h) J1 (t). Другие при-меры будут даны далее.
Принципиально уравнения и формулы динамического рас-чёта с групповыми величинами – такие же, как в случае негруп-повых перемещений и силовых факторов. Поэтому в дальней-шем специальное обозначение для обобщённых ( групповых ) вели-чин – символ « ~ » – применяется только тогда, когда они фигу-рируют вместе с другими ( до группировки ), и их нужно разли-чать.
В связи с этим укажем на некоторые уточнения в истолко-вании ранее записанных в п. 1.5 уравнений динамики. В матрич-ной форме ( 1.16 ), ( 1.16*), ( 1.15* ), ( 1.26 ), ( 1.28 ) и их аналоги в табл. 1.2 – 1.6 остаются неизменными, но матрицу масс в них следует рассматривать как недиагональную, в связи с чем вво-дится двухиндексное обозначение компонентов матрицы масс: ( диагональные – ), . Тогда выражения ( 1.104 ), являющиеся обобщением зависимости ( 1.2 ) на случай группо-вых величин, принимают вид
( 1.109 )
соответственно
( 1.110 )
где m0 – параметр массы.
Аналогично диссипативные силовые факторы FD (t) также
предполагаются групповыми, а при использовании обобщённых сил формируется матрица обобщённых коэффициентов вязкого сопротивления
( 1.111 )
и определяются , ( 1.112 )
причём – обоб-щение формулы ( 1.3 ).
По аналогии с единичными реакциями rik в формуле ( 1.21 ), выражающей
силовой фактор Riy (t) через перемещения y(t), величины в ( 1.109 ), посред-
ством которых силовой фактор Ji (t) связывается с ускорениями , иногда
называют реакциями по направлению групповой силы Ji (t) от единичных уско-рений ( [ 1 ], [ 6 ] ). Из тех же соображений коэффициенты kf, ik при этом именуют
реакциями по направлению диссипативной силы FDi (t) от единичных скоростей.
Наконец, групповыми являются единичные перемещения ik и реакции rik в матрицах упругой податливости и жёсткости,
а также перемещения и реакции от амплитуд заданных воздействий.
С учётом ( 1.109 ) уравнения ( 1.14 ) получаются такими:
+ yi (t) =(1.113)
Другие основные варианты уравнений динамики – ( 1.15 ), ( 1.24 ) и ( 1.27 ) представляются соответственно следующим об-
разом:
= – ( 1.114 )
(здесь компоненты обращённой матрицы масс );
= –, ; ( 1.115 )
+ kf, i +=, . ( 1.116 )
Для особых случаев движения – гармонических колеба-ний – уравнения с групповыми неизвестными в рациональных вариантах записи, получаемые из ( 1.114 ) и ( 1.115 ) без учёта диссипации, имеют следующий вид:
при собственных колебаниях:
– в амплитудах инерционных силовых факторов
, ( 1.117 )
где = 1/( m0 2 ); ;
– в амплитудах перемещений
( 1.118 )
= 1/ = m0 2 ;
при установившихся вынужденных колебаниях от вибраци-онных воздействий:
– в амплитудах инерционных силовых факторов
, ( 1.119 )
где F = 1/( m0);
– в амплитудах перемещений
( 1.120 )
F = 1/F = m0.
Матричные формы уравнений ( 1.117 ) – ( 1.120 ):
Матрицы динамической податливости , и динамичес-кой жёсткости рассчитываемой системы отличаются от их
аналогов, входящих в уравнения ( 1.51 ), ( 1.65 ), ( 1.83 ) и ( 1.92 ) с негрупповыми неизвестными, тем, что динамические поправки
могут быть не только в диагональных, но и в побочных компо-
нентах этих матриц:
.
(
1.121
)
В решениях задач о гармонических колебаниях по уравне-ниям ( 1.117 ) и ( 1.119 ) в форме метода сил бывает целесооб-разным такое преобразование основных неизвестных – амплитуд инерционных сил, когда n исходных J связываются c равным числом n0 = n обобщённых ( групповых ) в виде
= J. ( 1.122 )
Из условия ( 1.106 ), записанного в амплитудах, получаются
зависимости для определения матрицы приведённых масс и вектора перемещений, соответствующих силовым факторам :
( 1.123 )
и . ( 1.124 )
*)
В динамике сооружений симмет-ричной
считается система,
облада-ющая
симметрией
геометрии,
структуры
(размещения связей),
распределения
жёсткостей,
расположения
масс.
неизвестных позволяет сущест-
венно упростить динамические
расчёты симметричных систем*) –
в этих задачах переход от исходных ( действительных ) к новым ( групповым ) перемещениям масс или инерционным силовым факторам осуществляется наиболее просто – они представляют собой симметричные или обратносимметричные группы пе-
ремещений или сил, причём новых неизвестных столько же, сколько исходных, т. е. n0 = n . Возможно заменять исходные пе-
р
m
Ось
сим-
метрии
Ji
с
m
Jk
о
yi
yk
а)
н
a a
п
Так, для двух симметрично расположенных
о
щ
б)
о
с
Рис. 1.39
в)
парных новых неизвестных – симметричных
( рис. 1.39, б ) и обратносимметричных ( рис. 1.39, в ), которые в сумме статически эквивалентны исходной паре Ji и Jk : Ji =+; Jk =– или = Ji / 2 + Jk / 2 ; = Ji / 2 – Jk / 2 – из коэффициентов при Ji и Jk в двух послед- них зависимостях формируется матрица преобразования неизвестных:
. По формуле ( 1.123 ) находится матрица приведённых масс:
– отсюда видно, что приве-
дённая масса, соответствующая парному симметричному неизвестному Ji (или обратносимметричному Jk ) равна половине реальной массы.
,
то есть
=
yi
+
yk
;
=
yi
–
yk
–
эти же выражения можно по-
лучить, исходя из рис. 1.39, по которому легко установить, что yi =(а), yk =(б). Если далее рассмотреть работы и групп сил ина соответствующих им перемещениях, то очевидно, что и , откуда с учётом симметрии пере-мещений (, ) следует, – подстановка этих зависимостей в (а) и (б) даёт и, чтоэквивалентно найденным выше по формуле ( 1.124 ) соотношениям между yi , yk , и.
Ji–1
mi
Ось
сим-
метрии
Ji
С
Ji+1
mi+1
mi–1
=
= mi+1
Ji , Ji+1 и групповыми,и, согласно
р
a a
Ji =–, или
о
Рис. 1.40
и далее по ( 1.123 ):
–
следует обратить внмание на то, что матрица приведённых масс получилась симметричной, но не диагональной.
Рис. 1.41
С групповыми неизвестными уравнения собственных коле-баний записываются в виде , где мат-рица упругой податливости заданной системы по направлениям групповых сил инерции , компоненты которой вычисляются как обобщённые единичные перемещения от
блочную структуру: ( 1.125 )
где – матрица перемещений
по направлениям симметричных неизвестных от единичных обратносимметричных сил инерции ; – матрица переме-щений по направлениям от единичных .
Очевидно, что , вследствие чего система ( 1.125 ) распадается на две независимые подсистемы
и . ( 1.126 )
Уравнение частот собственных колебаний при-нимает вид и также порождает два неза-
висимых частотных уравнения:
и . ( 1.127 )
Первое из них даёт спектр частот симметричных форм собственных колебаний, а второе – обратносимметричных форм. Общее их число, конечно, равно числу степеней свободы масс n. Частоты симметричных и обратносимметричных форм входят в полный спектр «вперемешку».
Любая симметричная главная форма очевидным образом ортогональна любой обратносимметричной – это не требует осо- бой проверки. Следует контролировать ортогональность форм одного типа.
Форм собственных колебаний, не обладающих свойства-ми прямой или обратной симметрии, у симметричной системы не может быть.
( 1.128 )
и состоит из двух независимых подсистем
и – ( 1.129 )
даже при произвольных ( асимметричных ) воздействиях это упрощает расчёт и уменьшает его трудоёмкость.
При симметричных ( или обратносимметричных ) воздей-ствиях неизвестные противоположного типа заведомо равны ну-лю, и содержащие их уравнения вообще можно не составлять.
Если динамический расчёт симметричной системы выпол-няется с использованием классических методов – сил, перемеще-ний или смешанного, то наряду с «главными» неизвестными – силами инерции или перемещениями масс – следует группиро-вать также и неизвестные соответствующего метода – X или Z .
Альтернативой расчёту симметричных систем с помощью группировки неизвестных является способ, основанный на разделении системы на две половины сечением по оси симметрии с последующим выполнением двух независимых расчётов одной половины – от-дельно на симметричную и обратносимметричную составляющие динамических воздействий при вынужденных колебаниях или при соответствующих типах собственных колебаний. В каждом из двух расчётов по линии разреза вводятся определённые комбинации связей, моделирующие влияние отброшенной половины при рассматриваемом – симметричном или обратносимметричном – движении системы. При формировании расчётной схемы половины системы массы и связи, расположенные на оси симметрии, делятся пополам, а стержни, продольные оси которых совпадают с осью симметрии, «расщепляются» вдоль оси на две части с половинной жёсткостью каждая. Подробности – в примере ( см. гл. 3 ).
В динамике сооружений достаточно часто встречаются задачи, где основные неизвестные расчёта в форме метода сил
с
m(1)
y1(2)
y1(1)
y1(3)
J1(1)
J1(3)
в
m(3)
ф
m(2)
y2
J1(2)
р
J2
именно – из-за наличия взаимо-
с
Рис. 1.42
мещениями масс*). Например, в
р
*)
В таких задачах применять формулы (
1.123
) и (
1.124
) нельзя,
так как прео-
бразование (
1.122
) не
используется.
число степеней свободы трёх масс равно 2. Роль степеней сво-боды играют независимые друг от друга перемещения – гори-зонтальное y1y1(1) массы m(1) и вертикальное y2 массы m(2) . Го-ризонтальные перемещения масс m(2) и m(3) не являются незави-симыми – они равны y1, т.е. y1(2) = y1(3) = y1 . Вследствие этого силы инерции J1(2) и J1(3) оказываются зависящими от J1(1) : J1(2) = = k1 J1(1) ; J1(3) = k2 J1(1) ( здесь k1 = m(2) / m(1) ; k2 = m(3) / m(1) ). Таким образом, первой степени свободы y1 соответствует группа из трёх сил – J1(1) , J1(2) и J1(3) , объединённых общим параметром J1(1) .
За основное групповое неизвестное можно принять ли-
бо сумму трёх истинных сил инерции J1(1) + J1(2) + J1(3) , либо их общий параметр J1(1) .
В первом варианте = J1(1) + J1(2) + J1(3) . Из условия равен-ства работ WJy =истинных сил инерции и групповой на со-ответствующих им перемещениях получается J1(1) y1(1) + J1(2) y1(2) +
J1(3) y1(3) = ( J1(1) + J1(2) + J1(3) ) откуда при y1(2) = y1(3) = y1(1) следует, что y1(1) . Подставив в то же равенство работ выра-
жения сил инерции через перемещения и массы J1(1) = m(1) 2 y1(1) ,
J1(2) = m(2) 2 y1(2) , J1(3) = m(3) 2 y1(3) , J2 = m(2) 2 y2 , = ( на основании закона инерции в случае гармонических колебаний с
частотой ), имеем: 2 ( m(1)+ m(2)+ m(3)) = – из этого соотношения при y1(1) = y1(2) = y1(3) =находится приве-дённая масса соответствующая групповому неизвестному= = J1(1) + J1(2) + J1(3) : m(1) + m(2) + m(3) – результат истолковывается
просто: суммарную силу инерции порождает суммарная масса ).
Тот же результат можно получить, не записывая заново условие равенства работ, а используя формулу ( 1.107 ), если перемеще-ния y1(1) , y1(2) , y1(3) и y2 объединить в исходный вектор y и при-
н
.
Во втором варианте = J1(1) . Следуя той же схеме, что и ранее, получаем J1(1) y1(1) + k1 J1(1) y1(2) + k2 J1(1) y1(3) = (*), откуда находим = y1(1) ( 1 + k1 + k2 ) – иное, чем в первом варианте. Да-лее, расписывая в (*) силы инерции через массы, перемещения и
2 , после сокращения на ( y1(1) )2 определяем приведённую мас-су m(1) / ( 1 + k1 + k2 ).
Для конкретных значений масс m(1) = m(2) = m(3) = m приведённые массы по 1-му и 2-му вариантам получаются соответственно 3m и m / 3.
Различия в расчётах по двум вариантам состоят в следую-щем:
в единичном состоянии при = 1 в первом варианте к систе-
ме прикладывается одна сила, равная единице, а во втором – три ( соответственно 1, k1 и k2 ) или одна, но равная 1 + k1 + k2 ;
полученную в результате решения задачи силу инерции в первом варианте следует распределить между J1(1) , J1(2) и J1(3) как
( m(1) /, ( m(2) / и ( m(3) /, а во втором варианте при-нять J1(1) =, J1(2) = k1и J1(3) = k2.
Практическое значение имеет также случай неточечной массы m ( рис. 1.43, а ) в виде относительно тонкого ( bm << lm ) недеформируемого стержня, жёстко прикреплённого в точке О к несущему элементу конструкции перпендикулярно к его оси с эксцентриситетом em от центра тяжести массы – точки Om .
В качестве степеней свободы массы могут рассматриваться тангенциальное y1 и нормальное y3 ( относительно продольной оси стержневого элемента ) линейные перемещения точки О при-крепления массы к стержню, а также угол поворота массы y2 .
Перемещению y1 соответствует приложенная в центре мас-сы Om сила J1 – равнодействующая нормальных к оси массы распределённых сил инерции ( рис. 1.43, б ). При гармонических колебаниях ( в частности, в случае собственных колебаний с час-тотой ) сила J1 и перемещение y1 связаны зависимостью
J1 = 2 m y1 . ( 1.130 )
ет инерционный
момент
,
где
,
т. е.
,
( 1.131
)
где (z)
– интенсивность распределённой массы;
–
собственный
(
относительно
центра
тяжести Om
) мо-
мент
инерции массы.
Для стержня с равномерно распределённой по длине массой
bm
y2
J3
Om m
m
qin m
y3
y3 m dz
Om
J1
Om
Om z
y1
y1
J2
O
y2
J3 O
m m
O
J2
J1
Рис. 1.43
И, наконец, линейное перемещение y3 порождает силу J3 – равнодействующую распределённых инерционных сил, направ- ленных вдоль оси массы, которая приложена в центре массы Om
( рис. 1.43, г ) и определяется как J3 = 2 m y3 . ( 1.132 )
Исходный вектор инерционных силовых факторов J = = [ J1 J2 J3 ]т связан с перемещениями y = [ y1 y2 y3 ]т (рис. 1.43, а – г ) соотношением
. ( 1.133 )
Приведение силовых факторов J1 , J2 и J3 к точке прикреп-ления массы О даёт группу сил и моментов, схема которой пред-ставлена на рис. 1.43, д, где = em J1 .
Вместо трёх сил J1 , J2 , J3 и двух моментов , J2 можно ввести новые ( групповые ) инерционные силовые факторы ( рис. 1.43, е ) , что в матрич-ной форме представляется как
( 1.134 )
J
( 1.135 )
где Im = – момент инерции массы относительно точки
прикрепления О.
Структура полученной матрицы приведённых масс свиде-тельствует о том, что силу инерции = J3 можно учитывать не-зависимо от и , используя = y3 и = m . Тогда для и
имеем:
( 1.136 )
откуда ( 1.137 )
(
1.138
)
Матрица используется также для вычисления переме-щений по найденным величинам :
Частные случаи:
1) масса прикреплена к стержню в центре тяжести () –
р
а)
б)
Рис. 1.44
(
1.139
)
2) масса прикреплена к стержню концом ( рис. 1.44, б ):
em = lm / 2; Im =
(
1.140
)
Д о п о л н е н и е
y2
м
y3
m(1)
р
m(2)
y5
формально считается независимым от
п
y1
y4
м
Рис. 1.45
точной степенью свободы; тогда при
расчёте на собственные колебания в спектре частот появится лишняя частота – теоретически бесконечно большая, а практи-чески ( за счет малых погрешностей вычислений, в том числе компьютерных ) – значительно ( на несколько порядков ) больше других частот; её следует игнорировать;
2) учитывается равенство перемещений y4 и y1, и одно из них ( y1 ) считается одной степенью свободы для обеих масс при их общем смещении в направлении продольной оси стержня; далее сила инерции массы m(2) , соответствующая перемещению y4 = y1 ,
суммируется с J1 ( см. рис. 1.43 ), и результат принимается в ка-честве групповой силы инерции ; матрица приведённых масс, связанная с перемещениями y1 = и y2 = ( выражающая через них силу и инерционный момент ), в этом случае такова:
(
1.141
)
( здесь ).
Если точечных масс на стержне несколько, то вместо m(2) в формулу ( 1.141 ) подставляется сумма масс mточечн .
Изложенная методика позволяет рассматривать и более сложные случаи, когда составляющие группового инерционного фактора имеют разные направления и, возможно, даже отлича-ются по типу – силы и моменты. Например, у четырёх сосредото-
ченных масс рамы, изображённой на рис. 1.46, всего три степе-
ни свободы ( если не учитывать продольные деформации стерж-
ней ), хотя число ком-
п
m(1)
, Im(1)
J1(1)
y1(1)
=
y1(2)
l
м
EI
=
m(2)
y1
ч
y2
y3
н
m(4)
J3
J1(2)
J1
h
m(3)
J2
м
y1(2)
в
Рис. 1.46
ное перемещение y1(1)
массы m(2) и угол поворота y1(2) массы m(1) можно выразить через линейное перемещение y1 массы m(1) : y1(1) = y1 sin , y1(2)
= ( y1 cos ) / l . Приняв y1 за обобщённое перемещение, в матрич-ной записи имеем [ y1(1) y1(2) ]т = y1 = [ sin ( cos ) / l ]т y1 и, на основании ( 1.107 ),
= ( m(1) + m(2) ) sin2 + Im0 ( cos2 ) / l2.
Обобщённая сила инерции, соответствующая y1, равна, по (1.108), = ( J1(1) + J1 sin sin J1(2) (cos )/l =
= km J1 , где km = .
Из закона инерции ( 1.2 ) находим, что J1 : J1(1) : J1(2) = 1: m(2) / m(1) : : ( Im0 cos ) / ( m(1) l ). Исходя из этого, в единичном состоянии при задании нужно одновременно приложить к раме силы J1 = 1/ km , J1(1) = m(2) / ( km m(1) ) и момент J1(2) = ( Im0 cos ) / (km m(1) l ).
В системах со сложной геометрией выявление зависимостей между компонентами перемещений масс может вызывать затруднения. В таких случаях можно обойтись без введения групповых неизвестных, пренебрегая взаимозависимостью перемещений, т. е. завышая число степеней свободы масс в сравнении с истинным. Последствия этого обсуждены в конце п. 1.5.4.3, где констатирована безопасность указан-ного приёма.
В качестве примера рассмотрим задачу о собственных колебаниях про-
с
y2
J1
m(2)
m(3)
m(1)
J2(1)
J2(3)
l/2
EI2
y1
J2(2)
EI1
EI1
l/2
h/2
h/2
h/2
M1
M2
Рис. 1.47
Уравнения собственных колебаний в амплитудах сил инерции:
частоты:
1=min
=
и
2
=.
Если игнорировать взаимозависимость перемещений масс, то дополни-тельно к y1 и y2 степенями свободы формально будут горизонтальные переме-щения средней и правой массы – соответственно y3 и y4 , то есть n = 4 . В этом случае за J2 принимается сила инерции J2(1) левой массы, а силы J2(2) и J2(3) рассматриваются как J3 и J4 ; матрица масс m = diag [ m(2) m(1) m(2) m(3) ]. Эпюры моментов M3 и M4 от единичных J3 и J4 совпадают с M2 , вследствие чего 22 = 33 = 44 = 23 = 24 = 34 ; 12 = 21 = 13 = 31= 14 = 41 = 0. Уравнение частот: ,
откуда ( * )
где = 1/(m(1)2 22); B3 = m(1) / m(2) ; B4 = m(1) / m(3) .
Первое из уравнений ( * ) позволяет сразу определить одну из частот (вторую): 2 =, а второе приводится к виду
[ B3 + B4 + B3 B4 ( 1 – ) ]= 0
и даёт 1= 1 + , а также 3, 4 =. Соответствующие частоты: 1=min =; 3 = 4 =.
Из найденных таким способом частот две первые – такие же, как в основ-ном решении, а две бесконечно большие – побочный результат, являющийся следствием формального завышения числа степеней свободы масс.
системы число степеней свободы масс n = 6.
Приняв
m(1)
= m(3)
m(2)
m(1)
m(1)
и
EI2
EI1
EI1
EA1
EA2
с
EA1
то, что в вышеупомянутом МКЭ расчёт выпол-
н
Рис.
1.48
основных неизвестных амплитуды групповых
инерционных сил ( симметричных и обратносимметричных ), чтобы иметь воз-можность сопоставления с предыдущими результатами.
Для удобства номера с 1 до 3 присвоены симметричным неизвестным,
а с 4 до 6 – обратносимметричным. На рис. 1.49 показаны единичные состояния системы, где эпюры изгибающих моментов совмещены со схемой рамы.
Nр1=
–
H1
H1h
Nр2=
0
Nр3=
–
1
1/2
1/2
H1
1
1
1
1
Nр5=
0
1/2
1/2
Nрl,4=
1/2
h/2
h/l
h/l
2h/l
2h/l
1
1
Nр6=
0
H1
h
h
Nрr,4=
–1/2
Рис. 1.49
Для определения шести частот собственных колебаний служат два неза-висимых частотных уравнения и – из первого на-
ходятся частоты трёх симметричных главных форм, а из второго – трёх обратно-
симметричных. Групповые единичные перемещения – компоненты матриц упру-
гой податливостиивычисляем методом Максвелла – Мора с учётом из-гиба и продольных деформаций стержней рамы. Эпюра моментов ( рис. 1.49 ) совпадает с M1 на рис. 1.47, а – с M2 ; . Учитывая это и исполь-
зуя обозначения перемещений 11 и 22 из предыдущей задачи, имеем:
Обозначив h / (EA1) = 1 , l / (EA2) = 2 ,
получаем
Заметим, что 1 2 << 1122 . Для получения количественных оценок
примем h = l , EA1 = EA2 , EI1 = EI2 , тогда 1 = 2 = ; H1 = 3/40; 11 = = (11/240) 22 ; 22 = (1/4) l3 / EI .
Уравнения частот собственных колебаний:
()
Умножив каждый из определителей на и введя собственное число = = 2 / (22 m(1) 2) = 8EI/ (m(1) l2), представляем уравнения в следующем виде:
где a1 = m(2) / m(1) ; = / 22 = 4EI / (l2EA) = 4(i / l) 2 – здесь i – радиус инерции
сечения.
Численные результаты получим при m(2) = 2 m(1) и i / l = 0,04*) :
(
♠ )
.
*) Такое значение i / l соответствует элементам из прокатных двутавров, для которых i
( hc – высота сечения), при hc = l /10.
Корни первого частотного уравнения: s1 = 0,19717; s2 = 0,01191; s3 = 0,00639; второго – as1 = 8,10576; as2 = 0,01264; as3 = 0,00320.
В порядке убывания собственные числа образуют последовательность as1, s1, as2, s2 , s3, as3 ; ей соответствует спектр частот собственных коле-баний 1 : 2 : 3 : 4 : 5 : 6 = 1 : 6,41 : 25,32 : 26,09 : 35,62 : 50,33, где
1 = 0,9935. Это решение следует рассматривать как уточнённое.
Собственные векторы действительных ( негрупповых ) перемещений:
y(1) = [ 0 0 0 1 0,0063 0,9992 ] т ; y(2) = [ 1 – 0,0694 0,0050 0 0 0 ] т ; y(3) = [ 0 0 0 – 0,0042 1 – 0,0021 ] т ; y(4) = [ 0,0695 1 0,0121 0 0 0 ] т ;
y(5) = [ – 0,0058 – 0,0117 1 0 0 0 ] т ; y(6) = [ 0 0 0 – 0,9992 – 0,0107 1 ] т .
1
с
1
обладают деформации изгиба стер-
ж
1
2
нениях / укорочениях. Остальным ча-
стотам 3 ... 6 отвечают формы с
д
1
1
1
1
1
1
1
1
1
5
6
3
4
Рис. 1.50
тием элементов. Правда, и в них присутствует изгиб, но с перемещениями того же порядка, что и абсолютные продольные деформации стоек и ригеля.
Обратим внимание на 6-ю главную форму – в ней крайние массы движутся по горизонтали в направлении, противоположном перемещению средней массы.
Частоты трёх главных форм, мало отличающихся по деформациям от 2-го, 3-го и 5-го состояний на рис. 1.49 ( с преобладанием продольных деформаций элементов ), с удовлетворительной точностью могут быть найдены из частотных уравнений с компонентами матрицы упругой податливости, отражающими толь-ко деформации растяжения / сжатия стержней – они получаются из () исключе-
нием столбцов и строк, содержащих 22 ( перемещение, обусловленное изгибом ):
откуда s(N), 1 = 0,0128 ; s(N), 2 = 0,0064 ; as(N) = 0,0128 ( ср. с s2 , s3 и as2 ).
Если продольные деформации стержней не учитывать ( т.е. вернуться к схеме по рис. 1.47, б – формально это означает задание EA =), то = 0, и уравнения ( ♠ ) принимают вид
или 2 (0,045833 – 0,25 ) = 0 и – 0,25 [(4 – )2 – 16 ] = 0 – их корнями являются s1 = 0,18333; s2 = s3 = 0; as1 = 8; as2 = as3 = 0. Сравнение с
полученным выше более точным результатом показывает, что минимальная частота ( для обратносимметричной главной формы ) без удлинений / укорочений стержней опре-деляется с погрешностью 0,66 % , а частота второй ( симметричной ) изгибной формы колебаний – с завышением на 3,7 %. Четырём нулевым собственным значениям отве-чают четыре бесконечно большие ( фиктивные ) частоты.
Рассмотренная модельная задача служит иллюстрацией к выводу, который следует иметь в виду при выполнении практических динамических расчётов:
влияние продольных деформаций в системах с преобладающим изгибом элементов ( как стержневых, так и пластинчато-оболочечных ) сказывается в большей степени на высокочастотных параметрах динамического процесса – частотах обертонов собственных колебаний или характе-ристиках НДС при высокочастотных воздействиях на сооружение или конструкцию.
Отметим, что аналогично, и даже значительнее, на динамические свойст-ва и поведение системы влияют деформации сдвига*). Поэтому для повышения точности результатов динамического расчёта необходимо при определении характеристик жёсткости и / или податливости системы ( матриц r и ) использо-вать наряду с жёсткостями сечений элементов при растяжении / сжатии EAj так-
же и сдвиговые жёсткости GAj /k j ( либо приведённые жёсткости при попе-
речном изгибе ).