Вопросы для самопроверки

1. В чем состоит принцип практической уверенности?

2. В чем заключается сущность закона больших чисел?

3. Чем отличается обычное понятие предела от предела по вероятности?

4. Сформулируйте и докажите теорему Чебышева.

5. Какое практическое значение имеет теорема Чебышева?

6. Сформулируйте и докажите теорему Бернулли.

7. Сформулируйте теорему Пуассона.

8. В чем особенности нормального распределения по сравнению со всеми другими распределениями?

9. В чем заключается сущность центральной предельной теоремы?

10. Приведите примеры задач, при решении которых применяется теорема Муавра–Лапласа.

Задачи

1. Вероятность того, что покупателю обуви необходимы туфли 43-го размера, равна 0,15. Оценить границы процента покупателей среди 2000 побывавших в магазине, которым нужен такой размер, если границы надо гарантировать с вероятностью 0,98.

2. Измеряется скорость ветра в данном пункте Земли. Оценить вероятность того, что скорость ветра будет выше 15 м/с, если путем многолетних измерений установлено, что среднее значение скорости ветра 6 м/с.

3. Сколько следует проверить изделий, чтобы с вероятностью, не меньшей 0,95, можно было утверждать, что абсолютная величина отклонения частоты изделий высшего сорта от вероятности изделий высшего сорта, равной 0,9, не превысит 0,01?

4. Суточный расход воды в населенном пункте является случайной величиной, среднее квадратическое отклонение которой равно 10000 л. Оценить вероятность того, что расход воды в этом пункте в течение дня отклоняется от математического ожидания по абсолютной величине более чем на 25000 л.

5. Среднесуточное потребление электроэнергии в населенном пункте равно 24000 кВт ч. Оцените вероятность того, что потребление электроэнергии в этом населенном пункте в течение данных суток превзойдет 50000 кВт ч.

6. При установившемся технологическом процессе производится 98% изделий первого и 2% второго сорта. Какова вероятность того, что среди 10000 наугад взятых изделий не более 235 окажется второго сорта?

7. Среднеквадратическое отклонение каждой из 250 000 независимых случайных величин превосходит 10. Оценить вероятность того, что абсолютная величина отклонения среднеарифметической этих случайных величин от среднеарифметической их математических ожиданий не превзойдет 0,04.

8. Норма засева зерна на 1 га равна 150 кг. Фактический расход на 1 га колеблется около этого значения. Случайные отклонения характеризуются средним квадратическим отклонением в 10 кг. Полагая, что норма высева – случайная величина, распределенная нормально, найти: а) вероятность события = {расход семян на 100 га не превысит 15,1 т}; б) массу семян, которая обеспечивает посев площади в 100 га с вероятностью 0,95.

9. Выпуск нестандартных изделий на данном производстве составляет 5%. Оценить нижнюю границу вероятности того, что в партии из 1000 изделий число нестандартных отличается от 50 не более, чем на 10.

10. Методом проб установлено, что потери зерна при уборке в среднем составляют 3 г на 1 м²; среднее квадратическое отклонение равно 1 г. Найти: а) вероятность события = {на 1 га потери составят не менее чем 29,8 кг}; б) величину, которую с вероятностью 0,99 не превысят потери на 1 га. Считать, что Х (потери зерна) есть нормально распределенная случайная величина.

11. Для некоторого автопарка среднее число автобусов, отправляемых в ремонт после месяца эксплуатации на городских линиях, равно 5. Оценить вероятность события A  {по истечении месяца в данном автопарке будет отправлено в ремонт меньше 15 автобусов}: а) если информация о дисперсии отсутствует; б) если дисперсия равна 4.

12. Дисперсия каждой из 80000 независимых случайных величин не превышает 12. Какой должна быть верхняя граница абсолютной величины отклонения среднеарифметической этих случайных величин от среднеарифметической их математических ожиданий, чтобы вероятность такого отклонения превышала 0,94?

13. В страховой компании застраховано 10000 автолюбителей. Вероятность поломки любого автомобиля в результате аварии равна 0,006. Каждый владелец застрахованного автомобиля платит в год 12 долл. страховых и в случае поломки автомобиля в результате аварии получает от компании 1000 долл. Найти вероятность: а) события A  {по истечении года работы страховая компания потерпит убыток}; б) события  {страховая компания получит прибыль не менее m долл.}, если m  40000; 60000; 80000.

14. Случайная величина Х распределена по следующему закону

Х	2	2,2	2,7	3,0	3,3	3,5	3,7	3,9	4
Р(Х = хi)	0,05	0,08	0,2	0,15	0,1	0,12	0,1	0,15	0,05

Пользуясь неравенством Маркова, оценить вероятность того, что случайная величина Х примет значение, не превосходящее 3,5.

15. Среднее число вызовов на АТС за 1 минуту равно . Найти вероятности следующих событий: ; .

16. Произведено 600 независимых испытаний: в 250 из них вероятность появления события А была равна 0,5, в 160 – 0,7 и в 190 – 0,4. Оценить снизу вероятность того, что отклонение частоты от средней вероятности не превысит по абсолютной величине 0,04.

17. Сколько нужно произвести измерений, чтобы с вероятностью, равной 0,9973, можно было утверждать: погрешность средней арифметической результатов этих измерений не превысит 0,01, если измерение характеризуется средним квадратическим отклонением, равным 0,03?

18. Длина изготавливаемых деталей является случайной величиной, среднее значение которой 35 мм. Среднее квадратическое отклонение этой величины равно 0,15. Оцените вероятность того, что отклонение длины изготовленной детали от ее среднего значения по абсолютной величине превзойдет 0,3.

19. Рабочий изготавливает штучные изделия. Время изготовления – случайная величина, распределенная по показательному закону. Найти вероятность того, что на изготовление 100 изделий рабочему понадобится от 5 до 6 часов, если среднее время, необходимое для изготовления каждого изделия, равно 3 мин и не зависит от времени изготовления других изделий.