- •Ю. В. Минченков высшая математика Исследование функций
- •Ключевые понятия
- •1. Локальные экстремумы функции
- •2. Основные теоремы дифференциального исчисления: Ферма, Ролля, Коши, Лагранжа
- •Ключевые понятия
- •1. Достаточные условия экстремума функции
- •2. Исследование функций на выпуклость и вогнутость. Точка перегиба
- •3. Асимптоты графика функции
- •4. Общая схема построения графика функции
- •1. Локальные экстремумы функции 3
- •2. Основные теоремы дифференциального исчисления: Ферма, Ролля, Коши, Лагранжа 4
- •Минченков Юрий Владимирович высшая математика Исследование функций
- •220086, Минск, ул. Славинского, 1, корп. 3.
Частный институт управления и предпринимательства
Ю. В. Минченков высшая математика Исследование функций
Учебно-методическое пособие
Минск 2007
УДК 51
ББК 22.11я73
М 62
Рекомендовано к изданию редакционно-издательским советом Частного института управления и предпринимательства
А в т о р
заведующий кафедрой высшей математики и статистики Частного института управления и предпринимательства кандидат физико-математических наук, доцент Ю. В. Минченков
Р е ц е н з е н т ы:
доцент кафедры высшей математики Белорусского государственного экономического университета кандидат физико-математических наук, доцент А. И. Астровский;
доцент кафедры высшей математики и информатики Государственного института управления и социальных технологий БГУ кандидат физико-математических наук, доцент Н. Н. Рачковский
Рассмотрено и одобрено на заседании кафедры высшей математики и статистики, протокол № 2 от 12.09.2007 г.
Минченков, Ю. В.
М 62 Высшая математика. Исследование функций: учеб.-метод. пособие / Ю. В. Минченков.– Минск: Частн. ин-т упр. и предпр., 2007.– 23 с.
Учебное пособие по дисциплине «Высшая математика» подготовлено в соответствии с рабочей программой ЧИУиП по данной дисциплине, стандартом и типовой программой Министерства образования Республики Беларусь. Оно охватывает основное содержание тем «Основные теоремы дифференциального исчисления», «Исследование функций», содержит лекции, задачи и упражнения.
Предназначено для студентов Частного института управления и предпринимательства.
УДК 51
ББК 22.11я73
© Минченков Ю. В., 2007
© Частный институт управления и предпринимательства, 2007
Лекция 1. ОСНОВНЫЕ ТЕОРЕМЫ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОГО ИСЧИСЛЕНИЯ
План:
1. Локальные экстремумы функции.
2. Основные теоремы дифференциального исчисления: Ферма, Ролля, Коши, Лагранжа.
Ключевые понятия
Локальный максимум. Локальный минимум. Локальный экстремум. Монотонность функции.
1. Локальные экстремумы функции
Пусть задана функция у = f (х) на множестве Х и х0 – внутренняя точка множества Х.
Обозначим через U(х0) окрестность точки х0. В точке х0 функция f (х) имеет локальный максимум, если существует такая окрестность U(х0) точки х0, что для всех х из этой окрестности выполнено условие f (х) f (х0).
Аналогично: функция f (х) имеет в точке х0 локальный минимум, если существует такая окрестность U(х0) точки х0, что для всех х из этой окрестности выполнено условие f (х) f (х0).
Точки локальных максимума и минимума называются точками локальных экстремумов, а значения функции в них – локальными экстремумами функции.
Пусть функция f (х) определена на отрезке [а, b] и имеет локальный экстремум на каком-то из концов этого отрезка. Тогда такой экстремум называется локальным односторонним или краевым экстремумом. В этом случае соответствующая окрестность является правой для «а» и левой для «b» полуокрестностью.
Проиллюстрируем данные выше определения:
На рисунке точки х1, х3 – точки локального минимума, точки х2, х4 – точки локального максимума, х = а – краевого максимума, х = b – краевого минимума.
Заметим, что наряду с локальными минимумом и максимумом определяют так называемые глобальные минимумы и максимумы функции f(х) на отрезке [a, b]. На рисунке точка х = а – точка глобального максимума (в этой точке функция f(х) принимает наибольшее значение на отрезке [a, b]), точка х = х3 – точка соответственно глобального минимума.