- •1. Предел последовательности
- •Основные способы вычисления пределов
- •Задачи для самостоятельного решения
- •1. Предел последовательности
- •2. Предел функции Определение предела функции в точке по Коши
- •Предел функции в бесконечности
- •Точки разрыва функции и их классификация
- •Задачи для самостоятельного решения
- •3. Непрерывность функции в точке
- •4. Производная функции
- •Основные правила дифференцирования
- •Логарифмическое дифференцирование. Производная неявной функции. Производные высших порядков
- •Задачи для самостоятельного решения
- •4. Производная функции
- •5. Правило лопиталя. Дифференциал функции Раскрытие неопределенностей при помощи правила Лопиталя
- •Дифференциал функции
- •Задачи для самостоятельного решения
- •5. Правило Лопиталя. Дифференциал функции
- •6. Исследование функций
- •Общая схема построения графика функции
- •Задачи для самостоятельного решения
- •6. Исследование функций
- •7. Функции нескольких переменных
- •Задачи для самостоятельного решения
- •7. Функции нескольких переменных
- •8. НеоПределенный иНтеграл
- •Основные свойства неопределенного интеграла
- •Основные методы интегрирования а. Непосредственное интегрирование
- •Б. Метод замены переменной (подстановки)
- •В. Метод интегрирования по частям
- •Г. Интегрирование выражений, содержащих квадратный трехчлен
- •Д. Интегрирование простейших рациональных дробей
- •Е. Интегрирование тригонометрических функций
- •Задачи для самостоятельного решения
- •8. Неопределенный интеграл
- •9. ОПределенный иНтеграл
Б. Метод замены переменной (подстановки)
Пусть требуется вычислить интеграл , который не вычисляется непосредственно. Сделаем замену переменной , где – дифференцируемая функция. Тогда и исходный интеграл приобретет вид
. (1)
Формула (1) называется формулой замены переменной в неопределенном интеграле. После вычисления интеграла в правой части этого равенства следует перейти от новой переменной интегрирования к старой переменной .
Пример 3. Найти интеграл .
Решение. Сделаем замену , тогда , а . Найдем : . Следовательно, = . Возвращаясь к переменной , окончательно получаем: .
Пример 4
В. Метод интегрирования по частям
Пусть и – две дифференцируемые функции. По свойству дифференциала
,
или
.
Интегрируя обе части последнего равенства и учитывая, что , получаем
. (2)
Формула (2) называется формулой интегрирования по частям.
В некоторых случаях для нахождения искомого интеграла формулу интегрирования по частям приходится применять несколько раз.
Большая часть интегралов, берущихся по формуле (2), может быть разбита на три группы:
1. К первой группе относятся интегралы вида
, , , , , ,
где – многочлен. Для их вычисления следует применить формулу (2), полагая в ней равным одной из указанных выше функций, а .
2. Ко второй группе относятся интегралы вида
, , ,
где – многочлен; – некоторое число. Для их вычисления следует положить , а , , соответственно.
3. К третьей группе относятся интегралы вида
, , , ,
где и – некоторые числа. Эти интегралы вычисляются двукратным интегрированием по частям, причем за можно принимать любой из сомножителей. В результате получим уравнение первого порядка относительно исходного интеграла.
Пример 5
Г. Интегрирование выражений, содержащих квадратный трехчлен
Пусть подынтегральная функция содержит квадратный трехчлен .
Интегралы вида вычисляются следующим образом. Из квадратного трехчлена в знаменателе выделим полный квадрат:
где , если , и , если .
Далее сделаем подстановку , откуда , . Получим
.
Последний интеграл является табличным и вычисляется по формулам 15, 16 таблицы основных неопределенных интегралов.
Пример 6. Вычислить интеграл .
Решение. Выделим в знаменателе полный квадрат:
.
Сделаем подстановку , тогда и
.
Возвращаясь к переменной х, получим
.
Д. Интегрирование простейших рациональных дробей
Определение 3. Рациональной дробью называется дробь вида , где и – многочлены степени и соответственно.
Рациональная дробь называется правильной, если степень числителя меньше степени знаменателя, т.е. , и неправильной – в противном случае ().
Неправильная рациональная дробь путем деления многочленов может быть представлена в виде суммы многочлена и правильной рациональной дроби.
Простейшей рациональной дробью называется правильная дробь одного из следующих видов:
1) ; 2) ; 3) ; 4) .
Интегралы от рациональных дробей 1), 2) находятся методом замены переменной:
[положим тогда ] =
[возвращаемся к переменной x] =;
[ ] = [возвращаемся к переменной x] =.
Заметим, что любая правильная рациональная дробь может быть представлена в виде конечной суммы простейших рациональных дробей 1-4, например, методом неопределенных коэффициентов.
Пример 7. Вычислить интеграл .
Решение. [сделаем замену ] = .