- •Картография
- •Часть I Вводная часть.
- •Часть II Математическая картография
- •6.070900 ”Геоинформационные системи и технологии”)
- •Часть I вводная часть введение
- •1 Основные сведения о карте
- •1.1 Элементы карты
- •1.2 Свойства карты
- •1.3 Функции карты
- •1.4 Классификации карт
- •1. Классификации карт по масштабу:
- •2. Классификация карт по тематике:
- •3. Классификация карт по назначению:
- •4. Классификация карт по практической специализации:
- •2 Необходимые сведения по геометрии земного эллипсоида
- •2.1 Параметры земного эллипсоида
- •2.2 Система геодезических координат
- •2.3 Главные радиусы кривизны в данной точке эллипсоида
- •2.4 Длина дуги меридиана
- •Часть II математическая картография
- •3 Основы теории картографического проектирования
- •3.1 Картографические проекции
- •3.2 Масштаб карты
- •3.3 Эллипс искажений
- •3.4 Искажение направлений и углов
- •3.5 Искажение расстояний
- •3.6 Искажение площадей
- •3.7 Определение размеров эллипса искажений
- •3.8 Искажение азимутов
- •4 Классификация проекций
- •4.1 Классификация проекций по характеру искажений
- •1. Равноугольные или конформные проекции.
- •Равновеликие (равноплощадные, эквивалентные) проекции.
- •Равнопромежуточные (эквидистантные) проекции.
- •Произвольные проекции.
- •4.2 Классификация проекций по виду меридианов и параллелей нормальной сетки
- •1. Круговые проекции
- •2. Конические проекции
- •3. Азимутальные проекции
- •4. Перспективные проекции
- •5. Цилиндрические проекции
- •6. Поликонические проекции
- •5.2 Простая равнопромежуточная цилиндрическая проекция
- •5.3 Прямоугольная равнопромежуточная цилиндрическая проекция
- •5.4 Равноугольная цилиндрическая проекция Меркатора
- •5.5 Равновеликая цилиндрическая проекция Ламберта
- •5.6 Цилиндрическая стереографическая проекция на секущем цилиндре (проекция Голла)
- •5.7 Равноугольная поперечно-цилиндрическая проекция Гаусса-Крюгера
- •5.8 Равноугольная поперечно-цилиндрическая проекция на секущем цилиндре (проекция utm)
- •6 Конические проекции
- •6.1 Общая теория конических проекций
- •6.2 Равнопромежуточные конические проекции
- •6.3 Равноугольные конические проекции на эллипсоиде
- •6.4 Равновеликие конические проекции
- •6.5 Построение картографических сеток конических проекций по прямоугольным координатам
- •7 Локальная проекция декартовой системы координат
- •8 Азимутальные проекции
- •8.1 Общая теория азимутальных проекций
- •8.2 Равнопромежуточная азимутальная проекция
- •8.3 Равноугольная азимутальная (стереографическая) проекция
- •8.4 Равновеликая азимутальная проекция
- •Учебное издание
- •61002, Харков, ул.Революции, 12
5.2 Простая равнопромежуточная цилиндрическая проекция
Предложена в 1438г. португальским принцем Генрихом Мореплавателем.
В этой проекции (рис. 5.2) расстояние между меридианами равно выпрямленной дуге экватора, а расстояние между параллелями - выпрямленной дуге меридиана. Если принять Землю за шар радиусом R, то и определятся из уравнений
Рис. 5.2
(5.7)
Сетка меридианов и параллелей - квадраты. Увеличение по меридиану и параллели будут
Соответственно полуоси эллипса искажений будут равны
Увеличение площадей
.
Наибольшее искажение направлений
.
Эта проекция может быть применена для территорий, расположенных вблизи экватора. В средних широтах, в т.ч. в Украине, эта проекция неприменима из-за больших искажений.
5.3 Прямоугольная равнопромежуточная цилиндрическая проекция
В целях уменьшения искажений вместо касательного по экватору цилиндра берётся секущий цилиндр с параллелями сечения .
Расстояние между меридианами (рис.5.3) равно выпрямленной дуге параллели сечения, а расстояние между параллелями выпрямленной дуге меридиана. Сетка меридианов и параллелей прямоугольная.
Рис.5.3
Если принять Землю за шар, и определяются по формулам
(5.8)
Увеличение по меридиану и параллели будет
между параллелями сечения , на параллели сечения , вне этого интервала .
Увеличение площадей
.
Максимальное искажение направлений
Для территории Украины самая южная точка Форос в Крыму имеет широту , а самая северная точка пос. Знобь Новгородская в Черниговской области .
Если за параллель сечения принять среднюю параллель, искажения по территории Украины распределятся, как это показано в таблице 5.1
44° |
1,000 |
0,930 |
4°08' |
45° |
1,000 |
0,946 |
3°09' |
46° |
1,000 |
0,963 |
2°08' |
47° |
1,000 |
0,981 |
1°05' |
48° |
1,000 |
1,000 |
0° |
49° |
1,000 |
1,020 |
–1º08' |
50° |
1,000 |
1,041 |
–2º18' |
51° |
1,000 |
1,063 |
–3º31' |
52° |
1,000 |
1,087 |
–4º46 |
Таблица 5.1
На основании данных, приведённых в таблице 5.1 можно заключить:
-
Наибольшие искажения вдоль параллели и искажение площадей в этой проекции составляют 7% на юге и около 9% на севере
-
Искажения углов по краям территории превышают 4°
-
Искажения к северу от параллели сечения возрастают быстрее, чем к югу от неё.
5.4 Равноугольная цилиндрическая проекция Меркатора
Предложена в 1569 году фламандским картографом Г. Меркатором.
Рассмотрим сначала эту проекцию для шара.
В рассмотренной нами ранее простой цилиндрической проекции увеличение масштаба по меридиану равно единице, а по параллели . Таким образом кружок, взятый на глобусе, изображается в этой проекции эллипсом, вытянутым по параллели.
Чтобы проекция была равноугольной, как это следует из выражения (3.7), необходимо и достаточно обеспечить равенство
.
Следовательно, чтобы сделать цилиндрическую проекцию равноугольной, нужно меридианы, также как и параллели, вытянуть в раз. Как это осуществить практически? Разделим меридианы, начиная от экватора, на бесконечно малые отрезки , как это оказано на рис.5.4. Середине каждого такого отрезка соответствует своя широта. Тогда длина отрезка меридиана от экватора до некоторой точки с широтой будет равна
Рис.5.4
. (5.9)
В свою очередь, как это следует из рис.5.1
(5.10)
Подставляя значение из (5.10) в подынтегральное выражение (5.9) и выполнив интегрирование, найдём
. (5.11)
Ордината сохранит своё значение, т.е.
. (5.12)
Сетка меридианов и параллелей прямоугольная (рис.5.5). Увеличение по меридиану и параллели будет
.
Рис.5.5
Эллипсы искажений представляют собой окружности радиусом .
Если касательной по экватору цилиндр заменить секущим по параллели , то выражение (5.11) принимает вид
, (5.13)
а второе выражение (5.8) остаётся без изменений.
Увеличение по меридиану и параллели
.
Увеличение площадей
.
Для территории Украины, если принять , увеличение площадей составит, как это следует из табл.5.2, до на юге до на севере.
Таблица 5.2
44° |
45° |
46° |
47° |
48° |
49° |
50° |
51° |
52° |
|
0,865 |
0,895 |
0,927 |
0,962 |
1 |
1,04 |
1,084 |
1,13 |
1,182 |
До сих пор мы рассматривали проекцию Меркатора на шаре. Если за модель Земли принять эллипсоид вращения, формулы для вычисления и принимают вид
(5.14)
где - радиус параллели касания или сечения
,
, - первый эксцентриситет земного эллипсоида, определяемый выражением (2.2).