1.4 Ознаки збіжності знакозмінних рядів.
Знакозмінним називається ряд у якому існує безліч як додатніх, так і від’ємних членів. Можна при дослідженні на збіжність таких рядів використовувати наступну процедуру:
-
перейти від цього ряду до ряду з модулів;
-
з допомогою якоїсь ознаки збіжності знакододатніх рядів дослідити його на збіжність;
-
якщо він виявиться збіжним, то за відомою теоремою і вихідний ряд теж буде збіжним;
-
якщо ж ряд з модулів виявиться розбіжним, то ми поки що не маємо ніяких ознак, крім означення і критерію Коші, тому є потреба їх отримати.
В цьому параграфі ми якраз і дамо деякі ознаки збіжності таких рядів. Для доведення потрібних нам теорем, і не лише для цього, нам буде потрібне наступне твердження.
Теорема1. (Перетворення Абеля). Нехай маємо і дві послідовності дійсних чисел, і та . Тоді справедлива така рівність
.
▲
Розглянемо
.А далі все зрозуміло.
▼
Тепер вже ми можемо сформулювати і довести згадані вище ознаки.
Теорема2. (Перша ознака Абеля-Діріхле). Нехай нам дано ряд
(1)
Якщо:
-
послідовність () – обмежена;
-
– монотонно прямує до нуля,
то ряд (1) – збіжний.
▲
Нехай для конкретності – монотонно зростаюча послідовність, тоді оскільки, послідовність – обмежена, то . З умови 2) випливає, що
(2)
Звідси, застосувавши перетворення Абеля одержуємо і :
, а це за критерієм Коші означає збіжність ряду (1).
▼
Теорема3. (Друга ознака Абеля-Діріхле). Нехай ми знову маємо ряд (1). Якщо:
-
послідовність () – збіжна;
-
– монотонна і обмежена послідовність,
то ряд (1) – збіжний.
▲
Із перетворення Абеля матимемо, що . Зрозуміло, що оскільки і збіжні, нехай до чисел і , то два останні доданки правої частини останньої рівності прямуватимуть кожен до , тому цю рівність можна переписати так
(3)
Оскільки – збіжна, то вона обмежена, отже,
. (4)
З того, що останні два доданки справа в (3) при прямують до нуля, матимемо:
, (5)
. (6)
Оскільки, – збіжна, то за критерієм Коші матимемо, що для вказаного вище , (не зменшуючи загальності його можна вважати тим самим що і в (5) і в (6)):
. (7)
Оцінимо модуль лівої частини рівності (3), для . Одержимо . А це за критерієм Коші означає збіжність ряду (1).
▼
Приклад. Дослідити на збіжність ряд . Покладемо , . Тоді .Оскільки, відомо, що
,
то , . А отже, оскільки і – монотонна спадна послідовність, то за першою ознакою Абеля-Діріхле наш ряд є збіжним.
Розглянемо далі один частковий випадок знакозмінних рядів – це, так званні, знакопочережні ряди. Нехай , тоді ряд
(8)
називається знакопочережним рядом.
Ряд (8) називається рядом Лейбніца, якщо:
-
-
.
Зрозуміло, що за першою ознакою Абеля-Діріхле справедливе таке твердження.
Теорема4. (Лейбніц). Ряд Лейбніца – збіжний..
Ряд є рядом Лейбніца, тому він збіжний. Виявляється, що для ряду Лейбніца справедливе наступне.
Зрозуміло, що (парні часткові суми ряду Лейбніца) є монотонно неспадною послідовністю. Справді . Оскільки ця послідовність має своєю границею число , що є сумою ряду Лейбніца, то з того, що вона монотонно неспадна зразу одержуємо
,. (9)
Розглянемо тепер послідовність . Звідси видно, що послідовність – монотонно не зростаюча, і оскільки, вона ще й збіжна до тієї ж границі , то
,. (10)
З (9) і(10) маємо, що , звідси
. (11)
Так само одержимо
. (12)
З (11) і (12) ми маємо, що справедлива нерівність
. (13)
З неї зокрема випливає, що похибка від заміни суми ряду Лейбніца його -тою частковою сумою не перевищує модуля -го члена цього ряду. Отже, щоб знайти суму ряду Лейбніца з певною точністю , слід знайти найменше при якому виконується нерівність . Якщо це буде, наприклад, , то і буде давати наближене значення суми ряду Лейбніца з точністю .