7.1.2 Резонанс в параллельном колебательном контуре (резонанс токов)

Еще одним примером колебательных цепей является изображенный на рисунке 4 параллельный колебательный контур.

На основании первого закона Кирхгофа для мгновенных значений силы тока получим уравнение

, (13)

где — сила тока в неразветвленной части цепи, , — токи в ветвях контура.

Рисунок 4 – Параллельный колебательный контур

Уравнение (13) может быть представлено в символической форме:

, (14)

, (15)

где , , , — комплексы токов, — комплекс напряжения, — комплексная проводимость.

Модуль комплексной проводимости, то есть число

(16)

называется полной проводимостью контура, — активной проводимостью, — реактивной проводимостью. Аналогично модуль комплексного тока

(17)

называется полным током, — активным током, — реактивным током. Величины активной и реактивной составляющих полной проводимости и соответствующие сопротивления связаны соотношениями

,     ,     ,     , (18)

где — полное сопротивление первой ветви контура, — полное сопротивление второй ветви.

Из формул (15) и (16) следует, что действующее значение силы тока в контуре может быть рассчитано как

. (19)

Уравнение (19) называется законом Ома для параллельного контура. Поскольку полная проводимость , то выражение (19) аналогично формуле (6).

Построим для уравнения (14) векторную диаграмму, взяв в качестве основного вектора вектор напряжения . Как и в случае последовательного колебательного контура, здесь возможны три варианта векторных диаграмм и, следовательно, три режима работы электрической цепи. Основные сведения об этих режимах представлены в таблице 2, а соответствующие им векторные диаграммы — на рисунке 5.

Таблица 2 – Режимы работы параллельного контура и основные сведения о них

Режим работы электрической цепи	Активно-индуктивный	Активно- емкостной	Активный (резонансный)
Соотношение между и
Соотношение между и
Сила тока и напряжение	,
Соотношение между начальными фазами, сдвиг фаз	,	,	,

а)	б)	в)
Рисунок 5 – Векторные диаграммы для активно-индуктивного (а), активно-емкостного (б) и резонансного (в) режимов работы параллельного колебательного контура

Из таблицы 2 следует, что при осуществлении условия () в параллельном колебательном контуре не наблюдается сдвига фаз между общим напряжением и током (). Режим работы участка цепи с параллельными ветвями, при котором сдвиг фаз между напряжением на его выводах и общим током равен нулю, называется резонансом токов. Из соотношений

,      (20)

следует, что изменением одной из величин , , , , при фиксированных значениях остальных четырех не всегда может быть достигнут резонанс. Резонанс отсутствует, когда значение изменяемой величины при ее определении из уравнения (20) получается комплексным. Для параметров , могут получаться и по два различных вещественных значения, удовлетворяющих уравнению (20). В таких случаях изменением и можно достичь двух различных резонансных режимов.

Решая уравнение (20) относительно , найдем следующее значение для резонансной угловой частоты:

. (21)

Для получения резонанса сопротивления и должны быть оба больше или оба меньше . Если это условие не выполняется, то получается мнимая частота , то есть не существует такой частоты, при которой имел бы место резонанс.

При резонансная частота , то есть такая же, как и при резонансе в последовательном контуре.

При резонансная частота имеет любое значение, то есть резонанс наблюдается на любой частоте.

Если напряжение и активные сопротивления , ветвей контура не изменяются, то согласно формуле (19) ток при резонансе, то есть при реактивной проводимости и полной проводимости , достигает своего наименьшего значения:

. (22)

В высокодобротных контурах, для которых , токи в реактивных элементах цепи в режиме резонанса могут превосходить, и иногда намного, суммарный ток в цепи. Поэтому резонанс в параллельном колебательном контуре и называется резонансом токов.

Зависимости , , и при неизменных значениях параметров , , , называются частотными характеристиками, а их изображения на графиках — резонансными кривыми.

Следует заметить, что в большинстве случаев резонансные явления — явления нежелательные (аварийные), так как при их осуществлении напряжения и токи в электроустановках могут в несколько раз превышать рабочие значения. Но, например, в радиотехнике, телефонии, автоматике режимы резонанса часто применяются для настройки цепей на заданную частоту.