- •Оглавление
- •3. Прямая линия в пространстве 22
- •4. Прямая и плоскость 25
- •1. Простейшие задачи на плоскости 26
- •I. Векторная алгебра
- •1. Определение вектора
- •2. Линейные операции над векторами и их свойства
- •3. Базис и координаты Декартов прямоугольный базис и декартова система координат
- •Декартова прямоугольная система координат
- •Проекция вектора на ось
- •4. Скалярное произведение векторов
- •Геометрические приложения скалярного произведения векторов в декартовой системе координат
- •5. Векторное произведение векторов
- •6. Смешанное произведение векторов
- •Выражение смешанного произведения в декартовых координатах
- •II. Аналитическая геометрия в пространстве
- •1. Уравнения поверхностей и линий
- •2. Плоскость в пространстве
- •Общее уравнение плоскости (поверхность первого порядка)
- •Неполные уравнения плоскостей
- •Уравнение плоскости «в отрезках»
- •Нормальное уравнение плоскости
- •Расстояние от точки до плоскости
- •Уравнение плоскости, проходящей через три данные точки
- •Угол между двумя плоскостями
- •Условие параллельности и перпендикулярности плоскостей
- •Уравнение прямой, проходящей через две данные точки
- •Угол между двумя прямыми
- •Условие параллельности и перпендикулярности двух прямых
- •4. Прямая и плоскость Точка пересечения прямой и плоскости
- •Уравнение пучка плоскостей, проходящих через прямую
- •III. Аналитическая геометрия на плоскости
- •2. Прямая линия на плоскости
- •Уравнение прямой в отрезках
- •Нормальное уравнение прямой
- •Окружность
- •Гипербола
- •Сопряженные гиперболы – две гиперболы, которые в одной и той же системе прямоугольных координат при одних и тех же значениях и определяются уравнениями и .
- •Парабола
- •4. Преобразования координат Параллельный перенос
- •Поворот координатных осей
- •Изменение начала координат и поворот осей
- •Приведение общего уравнения кривой второго порядка к каноническому виду
- •5. Линии в полярной системе координат
- •Связь полярных координат с декартовыми
- •Окружности
- •Спирали
- •Астроида
- •IV. ПоверхносТи второго порядка
- •Исследование формы поверхностей второго порядка по их каноническим уравнениям
- •Эллипсоид
- •Гиперболоиды Однополостный гиперболоид
- •Двуполостный гиперболоид
2. Плоскость в пространстве
Плоскость – одно из исходных понятий геометрии, определяется аксиомами.
Характеризуется свойствами:
-
плоскость есть поверхность, содержащая полностью каждую прямую, соединяющую любые ее точки;
-
плоскость есть множество точек, равноотстоящих от двух заданных точек.
Для решения задач аналитической геометрии используют различные, наиболее подходящие к каждому случаю виды уравнений плоскости.
Общее уравнение плоскости (поверхность первого порядка)
Теорема. В декартовых координатах каждая плоскость определяется уравнением первой степени, и каждое уравнение первой степени определяет плоскость.
Доказательство.
Возьмем на плоскости P произвольную точку .
Выберем вектор , перпендикулярный плоскости.
Пусть – произвольная точка, она лежит на плоскости , если , то уравнение плоскости определяется условием .
Так как координаты векторов равны и ,то их скалярное произведение равно
.
Уравнение плоскости, проходящей через точку и имеющей нормальный вектор , имеет вид:
.
Раскрыв скобки, и обозначив , получим уравнение первой степени или общее уравнение плоскости:
.
ПРИМЕР: Составьте уравнение плоскости, проходящей через точку перпендикулярно к вектору .
Искомое уравнение примет вид: , .
Если два уравнения и определяют одну и ту же плоскость, то их отличные от нуля коэффициенты пропорциональны:
.
Неполные уравнения плоскостей
Рассмотрим частные случаи уравнения первой степени .
-
D = 0: Ax + By + Cz = 0. Это уравнение определяет плоскость, проходящую через начало координат.
-
A = 0: By + Cz + D = 0.
B = 0: Ax + Cz + D = 0.
C = 0: Ax + By + D = 0.
Эти уравнения определяют плоскости, параллельные соответственно координатным осям OX, OY, OZ, так как соответствующие компоненты нормального вектора плоскости равны нулю.
-
A = 0, B = 0: Cz + D = 0.
A = 0, C = 0: By + D = 0.
B = 0, C = 0: Ax + D = 0.
Эти уравнения определяют плоскости, параллельные соответственно координатным плоскостям OXY, OXZ, OYZ.
-
A = 0, B = 0, D = 0: Cz = 0.
A = 0, C = 0, D = 0: By = 0.
B = 0, C = 0, D = 0: Ax = 0.
Эти уравнения определяют координатные плоскости XOY, XOZ,YOZ.
Уравнение плоскости «в отрезках»
Пусть коэффициенты в общем уравнении плоскости отличны от нуля. Преобразуем общее уравнение плоскости:
Если обозначить , получим
уравнение плоскости «в отрезках»:
, где
представляют собой отрезки, отсекаемые плоскостью на координатных осях.
ПРИМЕР: Какие отрезки отсекает на осях координат плоскость
2x – 4y + 6z –12 = 0 ?
Приведем общее уравнение плоскости к виду уравнения «в отрезках»:
.
Отрезки, отсекаемые на осях, равны a = 6, b = –3, c = 2.
Нормальное уравнение плоскости
Пусть дана плоскость. Проведем через начало координат прямую, перпендикулярную к плоскости (нормаль), и обозначим через P точку пересечения плоскости и нормали. На нормали введем положительное направление, обозначим углы, которые составляет нормаль с осями координат через , тогда - единичный вектор в направлении . На плоскости возьмем произвольную точку M(x, y, z), .
Проекция вектора на нормаль равна
.
Если известна длина отрезка OP = p, то уравнение задает нормальное уравнение плоскости в виде:
,
где - направляющие косинусы нормали к плоскости,
а p – расстояние от плоскости до начала координат.
Приведем общее уравнение плоскости к нормальному виду.
Так как эти уравнения определяют одну и ту же плоскость, то их коэффициенты пропорциональны: .
Из условия , которому удовлетворяют направляющие косинусы вектора, следует, что . Введем так называемый нормирующий множитель , знак которого определяется из условия , то есть должен быть противоположен знаку свободного члена нормируемого уравнения. Домножением на нормирующий множитель общее уравнение плоскости приводится к нормальному виду: