Барометрическая формула.

При равновесном состоянии газа хаотичное тепловое движение молекул приводит к равномерному распределению газа по всему объёму, т.е. n = const в среднем везде. Но если газ находится в поле внешних сил, то распределение молекул может быть и неоднородным. Рассмотрим, например, газ, находящийся в поле силы тяжести. В частности, это может быть и воздух(атмосферный) в поле силы тяжести Земли: при условиях, близких к нормальным, воздух можно считать идеальным газом.

Разность атмосферного давления на высоте h и h + dh равна весу столба воздуха, заключённого в объёме цилиндра с S=1м² и высотой dh.

ρ – плотность воздуха на высоте h.

Р- атмосферное давление на высоте h, P₀ – на высоте h=0.

μ – средняя молярная масса воздуха, определённая с учётом процентного содержания в воздухе азота, кислорода и других газов.

Воздух мы рассматривали как идеальный газ, а температуру считали постоянной.

Соотношение (1) – барометрическая формула Лапласа. Её можно преобразовать :

Тогда, произведя некоторые преобразования, получим:

n- концентрация молекул на высоте h,

n₀- концентрация молекул на высоте h=0.

Соотношение (2) можно записать так:

().

Соотношения (1),(2) пригодны для любого газа в силовом потенциальном поле.

Распределение Больцмана.

Запишем Барометрическую формулу :

где n_0,n – концентрация молекул на высоте h и h₀=0; m₀ - масса молекулы. Из (1) следует, что с понижением Т число частиц с высотой убывает и при Т=0 обращается в 0. При Т = 0 все молекулы располагаются на поверхности Земли. При высоких Т молекулы располагаются на высоте почти равномерно. Это все объясняется тем, что распределение молекул по высоте определяется двумя факторами: притяжением их к Земле и тепловым движением (оно стремится разбросать молекулы равномерно по всем высотам). При Т=0 тепловое движение прекращается, превалирует mg. При высоких Т превалирует тепловое движение.

Соотношение (2) даёт распределение молекул по потенциальным энергиям.

Из (2) следует, что n меньше там, где Е_Р больше, и наоборот.

Соотношение (2) называют распределением Больцмана, т.к. он доказал, что распределение (2) справедливо не только для гравитационного поля Земли, но и для любого потенциального поля для совокупности любых одинаковых частиц, совершающих хаотическое тепловое движение.

Т.о. закон Максвелла – это распределение по кинетическим энергиям, а закон Больцмана – распределение по потенциальным энергиям.

Согласно (2) количество молекул, попадающих в объём расположенный вокруг точки с координатами x,y,z, равно:

это также закон распределения Больцмана.

Объединенный закон Максвелла- Больцмана запишется в виде :

Или так :

В (5) Е_Р и Е_к - классические энергии , т.е. могут принимать непрерывный ряд значений.

Для квантового случая :

где N_i – число частиц в состоянии с энергией E_i. А – коэффициент пропорциональности. Его находят из условия , N – полное число частиц в рассматриваемой системе. С учётом (7) имеем для случая дискретных значений Е:

Распределение Больцмана

Вообще распределение частиц описывается функцией Бозе – Эйнштейна (частицы с целым спином ) либо функцией распределения Ферми - Дирака (частицы с полуцелым спином ).

С повышением температуры эти распределения переходят в распределения Максвелла- Больцмана.

При Т → 0 движение молекул подчиняется законам квантовой механики. Область состояний, в которой газ не подчиняется распределению Максвелла – Больцмана, называется областью вырождения газа. Так, для водорода вырождение наступит при Т ≈ 1К. Для более тяжёлых газов эта температура ещё ниже.

В области вырождения уравнение Менделеева – Клапейрона не выполняется и энергия не является линейной функцией температуры. Квантовые особенности частиц проявляются и при больших плотностях, соответствующих конденсированному состоянию вещества.