Модуль 2
Тема 4. Середні величини
ТЕОРЕТИЧНІ ОСНОВИ ТЕМИ
1. ПОНЯТТЯ ПРО СЕРЕДНІ ВЕЛИЧИНИ
Побудова варіаційного ряду розподілу дає можливість з'ясувати, як варіюють ознаки і як розподіляються одиниці сукупності за цими ознаками (варіантами). На наступному етапі треба знайти такі характеристики, які відображають властивості ряду розподілу в цілому, якомога повно характеризують досліджувану сукупність і притаманні їй закономірності. Тобто, треба знайти такі узагальнюючі характеристики, за допомогою яких можна було б порівнювати ряди розподілів різних статистичних сукупностей по відношенню до однієї й тієї ж ознаки; або до однієї й тієї ж сукупності, але по відношенню до різних ознак. Мова йде про визначення центрального числового значення ознаки, яке відображувало б кількісно той типовий рівень, яким наділені елементи досліджуваної сукупності і навколо якого мають тенденцію зосереджуватися спостережувані значення ознаки. Математична статистика розглядає кілька різних таких показників центральної тенденції ознаки. Найголовнішим серед них і найбільш поширеним е середня арифметична величина.
При зоровому сприйнятті показників рядів розподілу і їх графіків переконуємося, що розмір варіант має деякі загальні закономірності, які проявляються в тому, що їх величини групуються навколо центра розподілу. За даними статистичного ряду при віддаленні від центра розподілу вгору і вниз, а при графічному зображенні при віддаленні вправо і вліво частоти постійно спадають. Тенденція значень ознаки постійно групуватися навколо центра розподілу частот, статистичною характеристикою якого є середня арифметична , називається центральною тенденцією.
Таким чином, виникає необхідність розрахунку характеристик статистичних рядів розподілу.
Найважливішою характеристикою варіаційного ряду розподілу є середня величина. Статистичні середні відображують об'єктивну наявність певних умов, які проявляються в кожній одиниці досліджуваної сукупності: вони дають узагальнюючу кількісну характеристику статистичним сукупностям однотипних явищ по варіаційній ознаці. Середні величини відображують характерну, типову величину ознаки одиниць статистичної сукупності, яка утворюється в конкретних умовах місця і часу під впливом всієї сукупності факторів. Дія різноманітних факторів породжує варіацію осереднюваної ознаки. Середня є загальною мірою їх дій, рівнодіючою всіх цих факторів. Характеризуючи сукупність за осереднюваною ознакою, вона належить до одиниці статистичної сукупності. Так, середня заробітна плата одного робітника в тваринницькій галузі господарства являє собою відношення фонду заробітної плати (за певний період часу) до загальної (середньої за той же період) чисельності робітників у тваринництві. Ця середня характеризує рівень оплати праці даної сукупності робітників (зокрема тваринників у господарстві), але щодо одного робітника.
У середній величині взаємопогашаються індивідуальні різниці одиниць сукупності, які зумовлюються дією випадкових обставин і в яких знаходить свій прояв загальне, закономірне, властиве даній сукупності явище. Тобто, вона узагальнює або являє собою весь діапазон даних і є результатом абстрагування відмінностей, що притаманні одиницям сукупності. У ній нівелюються випадкові відхилення, властиві індивідуальним значенням ознаки, яка вивчається, а також відображуються загальні умови, що формують досліджувану сукупність.
Середнє і індивідуальні значення осереднюваної ознаки діалектично пов'язані між собою як загальне і окреме. Вона є найважливішою категорією статистичної науки, і найважливішою формою узагальнюючих показників. Значна частина категорій економічної науки визначається за допомогою середніх величин, адже останні виступають у ролі методу наукового пізнання. У такому разі йдеться про “метод середніх величин”, який широко використовується в економічних дослідженнях.
Середні величини можуть бути одержані в результаті багаторазових вимірювань однієї і тієї ж ознаки (величини), наприклад, розрахунок висоти гумусового горизонту при багаторазових вимірах. Середні одержують і при вимірюванні однорідних величин, наприклад, визначення середньої врожайності зернових культур у господарствах якого-небудь адміністративного району.
Розрахунок середніх передбачає обов'язковість обліку умов виникнення кожної індивідуальної величини, інакше обчислення можуть призвести до фіктивних середніх. Щоб середня величина відображувала типове і загальне для всієї сукупності, остання повинна бути якісно однорідною.
У практиці економічної роботи використовується досить широке коло показників, обчислених у вигляді середніх величин: середня врожайність, середня заробітна плата, середній рівень продуктивності праці тощо. У кожному конкретному випадку середні величини мають певний соціально-економічний зміст, який зумовлюється природою об'єкта, що вивчається (наприклад, по середньому рівню одержаної продукції на одного працюючого на молочнотоварній фермі можна судити про ефективність використання живої праці в тваринництві; показник середнього рівня гектарів умовної оранки з розрахунку на один трактор характеризує ефективність використання тракторного парку і т. ін.).
Середні величини в статистиці служать інструментом вивчення об'єктивних закономірностей соціально-економічних явищ, формою виразу їх дії. Їм належить чільне місце в планово-економічних розрахунках і економічних дослідженнях. Середні показники використовують для виявлення невикористаних внутрішньовиробничих резервів, обгрунтування шляхів і напрямів підвищення економічної ефективності виробництва, впровадження нових прогресивних технологій, нової техніки і т. ін. Так, порівнюючи середню продуктивність тваринництва і середню собівартість виробництва продукції цієї галузі при різних технологіях виробництва, можна розрахувати порівняльну економічну ефективність цих технологій, аргументуючи прийнятність тієї чи іншої.
Середні величини можуть використовуватися в економічних дослідженнях як вихідна база для вивчення закономірностей і тенденцій у русі показників, що характеризують розвиток явищ у часі. Наприклад, зіставлення серед них показників продуктивності праці та її оплати за десятиріччя розкриває характер розвитку явищ за цей проміжок часу, окремо продуктивності праці і окремо оплати праці. Зіставлення відносних показників динаміки (коефіцієнтів зростання) зазначених двох явищ дає уяву про характер і особливість співвідношень зростання чи зниження продуктивності праці щодо її оплати за певні проміжки часу.
По середніх показниках передових господарств можна мати уявлення про резерви зростання (чи зниження) ефективності виробництва і фактори, що зумовлюють це зростання (чи зниження).
Як уже було зазначено, метод групувань один з основних методів статистики. Метод середніх у поєднанні з методом групувань це складова частина науково розробленої статистичної методології. Середні показники органічно доповнюють метод статистичних групувань.
Середні величини використовують не тільки для виміру соціально-економічних процесів і явищ, а й для уточнення і вивчення їх змісту, характеру і напряму розвитку.
2. ВИДИ СЕРЕДНІХ ВЕЛИЧИН.
Статистика розрізняє два типи середніх величин: об'ємні і структурні. Математична статистика поділяє об'ємні середні величини на види: 1) середня арифметична; 2) середня геометрична; 3) середня гармонійна та ін.
Названі вище види середніх величин можна одержати з формул степеневої середньої. Для незгрупованих даних фор мула степеневої середньої має вигляд:
Якщо дані згруповані і мають відповідні частоти (пі), середня степенева визначається за формулою середньої зваженої:
де степенева середня; k показник степеня, що визначає вид середньої; х варіанта; пi частота (п = пi).
Оскільки питання обгрунтування ваги при обчисленні середньої має важливе методологічне значення, розглянемо по- няття ваги в статистиці взагалі і ваги середніх величин зокрема.
Під вагами в статистиці розуміють числа у вигляді абсолютних або відносних величин, які визначають значимість (вагомість) тієї чи іншої варіанти (ознаки) у даній статистичній сукупності.
Ваги середніх величин це ваги, з якими окремі значення усереднюваної ознаки беруться у розрахунок при обчисленні її
середньої величини. Вагами можуть бути показники чисельності одиниць або розміри статистичної сукупності у формі абсолютних чи відносних величин, і також величини показника, пов'язаного з усереднюваною ознакою.
Середні, при розрахунках яких значення усереднюваної ознаки (варіанти) зважуються по значеннях інших ознак, називаються зваженими середніми.
У наведеній вище формулі степеневої середньої зваженої за вагу прийнято частоту. У математиці і математичній статистиці, зокрема, де розрахунки абстрагуються від природи досліджуваних явищ, середню, розраховану за таким принципом, називають середньою зваженою. Теорія статистики дає обгрунтування обраної ваги для обчислення середньої.
Середня арифметична. Якщо в формулу степеневої середньої підставити значення k = l, то отримаємо середню арифметичну:
а) просту (незважену)
;
б) зважену
Так, якщо є х1, х2, х3,..., хn, то середня арифметична проста розраховується за формулою:
.
Як свідчить наведена формула, середню арифметичну просту одержують шляхом простого підсумовування всіх варіант усереднюваного показника і діленням одержаної суми на загальне число варіант.
Наприклад, якщо розміри ріллі по шести господарствах становлять 2600 га, 3100, 4200, 3600, 4800 і 3900 га, тс середня її площа з розрахунку на одне господарство дорівнюватиме:
(га).
Отже, якщо є первинні дані про величину ознаки у кожній окремій одиниці спостереження і треба обчислити середню величину ознаки у розрахунку на цю ж одиницю, то використовують формулу простої середньої арифметичної.
У розгорнутому вигляді формула середньої арифметичної зваженої має вигляд:
.
Приклад. За даними про врожайність зернових культур на дослідних ділянках розрахувати середню арифметичну (табл. 4.1). Одержуємо:
(ц/га).
З наведеного прикладу бачимо, що середня арифметична зважена розраховується відношенням суми добутків усереднюваних ознак на їх ваги до суми ваг. За вагу середньої зваженої беруть показники, які знаходяться у знаменнику вихідного відношення, тобто вихідної бази розрахунку середньої (логічної формули середньої). У розглядуваному прикладі вагами є показники посівних площ, а їх сума (загальна площа) являє собою показник, який знаходиться в знаменнику, вихідної бази розрахунку середньої урожайності. У конкретному випадку за вагу взято посівні площі ділянок, оскільки вони є доданками знаменника вихідної бази розрахунку середньої.
При обчисленні середньої арифметичної зваженої обрана вага повинна бути обгрунтована. Так, не можна ототожнювати частоти варіаційного ряду розподілу і ваги середньої арифметичної зваженої. Частоти можна використовувати як ваги лише при умові, що їх сума, тобто чисельність сукупності, яка підлягає групуванню при побудові варіаційного ряду, являє собою знаменник вихідного відношення у розрахунку середньої. Таке зустрічається не завжди. Для нашого прикладу вихідна база розрахунку середньої урожайності виражається відношенням валового збору зернових культур до площі посіву. Щоб знайти в цілому по сукупності валовий збір зернових культур, потрібно
Таблиця 4.1. Вихідні і розрахункові дані
Урожайність, ц/га (хі) |
Площа Ділянки, га (пі) |
хіпі |
17,6 |
7 |
123,2 |
21,6 |
11 |
237,6 |
25,6 |
18 |
460,8 |
29,6 |
9 |
266,4 |
33,6 |
5 |
168,0 |
37,6 |
5 |
188,0 |
41,6 |
2 |
83,2 |
Всього |
57 |
1527,2 |
по кожній групі ділянок помножити середню урожайність (хi) на розмір по сівної площі в гектарах (ni) і скласти одержані добутки. Середню урожайність зернових по сукупності одержимо шляхом ділення знайденої суми добутків (xіnі) на загальний розмір посівної площі (nі).
У цьому випадку за ваги при обчисленні середньої ариф-
метичної взято доданки показника, який знаходиться у знаменнику вихідної бази розрахунку середньої. Але цим доданком виступає не частота варіаційного ряду кількість ділянок (7), на яких одержано дану урожайність, а посівні площі цих ділянок. Використання даної ваги пояснюється тим, що при побудові варіаційного ряду групувались ділянки, середня ж урожайність визначається у розрахунку не на одну ділянку, а на 1 га посіву.
Математичні властивості середньої арифметичної. Середня арифметична як математична функція має ряд математичних властивостей. Останні мають велике практичне значення для розрахунку середньої за даними варіаційного ряду. Назвемо найважливіші з них.
-
Величина середньої арифметичної не змінюється, якщо частоти ряду розподілу замінити частостями:
,
де відповідно частота і частість ряду розподілу.
Добуток середньої на суму частот завжди дорівнює сумі добутків варіант на частоти:
.
-
Якщо до варіант ряду розподілу додати або відняти одну й ту ж величину, то середня арифметична, обчислена з нових (змінених) варіант, збільшиться (або зменшиться) на цю ж величину:
а) , звідси .
á) , звідси .
-
Якщо варіанти ряду помножити або поділити на одну й ту ж величину, то середня арифметична із змінених варіант буде відповідно більшою або меншою в стільки ж разів:
а) звідки
б) звідки.
Середня гармонійна. Одержують її при підстановці у формулу степеневої середньої значення К = -1:
.
Одержаний математичний вираз являє собою формулу середньої гармонійної простої, де сума обернених значень варіант (ознак).
Ваги середньої арифметичної і середньої гармонійної знаходяться у відповідній залежності, а саме: , звідки . Підставляючи у формулу середньої арифметичної зваженої значення , одержимо формулу середньої гармонійної зваженої:
Як видно, середня гармонійна являє собою обернену величину середньої арифметичної з обернених величин даних чисел.
Приклад. За даними врожайності і валового збору зерна, визначити середню гармонійну зважену (табл. 4.2):
При розрахунку середньої гармонійної можна значно спростити обчислювальну роботу, якщо використати у розрахунках таблицю обернених чисел.
При розрахунку середньої гармонійної можна значно спростити обчислювальну роботу, якщо використати у розрахунку таблицю обернених чисел
Таблиця 4.2.Вихідні і розрахункові дані
Урожайність,ц/га (xi) |
Валовий збір, ц (w) |
|
20 |
4000 |
200 |
25 |
5000 |
200 |
30 |
9000 |
300 |
Всього
Таким чином, середня гармонійна знаходить застосування, коли безпосередні дані про ваги відсутні, а відомі варіанти усередненої ознаки х і добутки значень варіант на кількість одиниць, які наділені даним її значенням
Середня геометрична визначається за формулою:
Отже, середня геометрична являє собою корінь степеня числа спостережень з добутку даних чисел:Після логарифмування маємо:
Таблиця 4.3. Вихідні і розрахункові дані для обчислення середньої геометричної
Роки |
Поголів'я корів, гол. |
Коефіцієнт Зростання (К) |
Логарифм числового значення коефіцієнта зростання |
2004 2005 2006 2007 1992 1993 Ñóìà
1993 Сума |
623 670 728 800 883 906 |
1,07545 1,08657 1,09891 1,10375 1,02605 |
0,0315 0,0363 0,0411 0,0429 0,0111 0,1629 |
Значення х дорівнює антилогарифму .
Отже, середню геометричну можна розглядати як антилогарифм середньої арифметичної з логарифмів даних чисел. Цей вигляд середньої застосовують при розрахунку середнього коефіцієнта зростання за певний період часу в рядах динаміки.
Приклад. За даними чисельності поголів'я корів за 6 років знайти середній щорічний коефіцієнт зростання поголів'я корів за період 2004-2007 рр. Проміжні розрахунки наведено в таблиці 4.3.
За даними таблиці знаходимо середнє значення з логарифмів числових значень коефіцієнтів зростання:
.
Таким чином, розрахунок середнього коефіцієнта зростання поголів'я корів можна подати в такій послідовності:
.
До структурних середніх відносяться мода і медіана.
Таблиця 4.4. Вихідні і розрахункові дані для обчислення моди і медіани
Кількість приплоду, Гол. (хi) |
Кількість Свиноматок, гол. (ni) |
Нагромаджена сума частот (ni) |
8 |
2 |
2 |
9 |
3 |
5 |
10 |
9 |
14 |
11 |
4 |
18 |
12 |
1 |
19 |
Сума |
19 |
Х |
Для дискретного ряду розподілу мода визначається за частотами варіант і відповідає варіанті з найбільшою частотою.
Мода це варіанта, яка найчастіше зустрічається у даному варіаційному ряду. Інколи її називають “модульна середня”, або “домінанта”.
Медіана це варіанта, яка припадає на середину варіаційного ряду. Якщо кількість членів ряду парна, то медіана дорівнює середній арифметичній із двох серединних значень варіант.
Отже, на відміну від середньої арифметичної, яка розраховується на базі всіх значень ознаки, мода і медіана характеризують величину ознаки (варіанти), яка займає певне положення (місце) в ранжированному варіаційному ряду. Так, медіана знаходиться на середині ранжированного ряду. Місце медіани визначається її номером, зокрема: , де п кількість одиниць спостереження. Визначимо значення медіани і моди по дискретному варіаційному ряду за даними таблиці 12.
Ранжирований ряд розподілу за кількістю одержаного приплоду від однієї свиноматки має вигляд: 8, 8, 9, 9, 9, 10, 10, 10, 10, 10, 10, 10, 10, 10, 11, 11, 11, 11, 12. Для визначення медіани маємо:
.
Отже, медіана дорівнює десятому значенню ознаки (варіанти) в ранжированному ряду, тобто 10. По сумі нагромаджених частот десятий член ряду має величину ознаки, що дорівнює 10, тобто медіана дорівнює кількості приплоду 10 голів. Мода величина, яка найчастіше зустрічається у досліджуваній сукупності для даного ряду розподілу, також відповідає кількості приплоду 10 голів. Для інтервального ряду розподілу з рівними інтервалами інтервал, що містить моду (модальний), визначаº'гься за найбільшою частотою. При нерівних інтервалах мода знаходиться за показником найбільшої щільності розподілу.
Для випадку розподілу з рівними інтервалами мода (Мо) внутрішньомодального інтервалу обчислюється за формулою:
,
де xMоmin нижня границя модального інтервалу, і величина інтервалу, nMо частота модального інтервалу; nMо-1 частота інтервалу, що передує модальному; nMо+1 частота інтервалу, що слідує за модальним.
Для обчислення медіани інтервального варіаційного ряду знаходять інтервал, який містить медіану, шляхом використання нагромаджених частот або частостей. Медіанному інтервалу відповідає перша із нагромаджених частот або частостей, що перебільшує половину всього обсягу сукупності. Всередині знайденого інтервалу медіана (Ме) розраховується за формулою:
,
де xMеmin нижня границя медіанного інтервалу; і величина інтервалу; 1/2nі половина суми всіх частот або частостей; SMе-1 нагромаджена частота чи частість інтервалу, який передує медіанному; nMе частота медіанного інтервалу.
Карл Пірсон встановив взаємозв'язок між модою, медіаною і середньою арифметичною, який виражається рівністю:
.
Приклад. За даними інтервального ряду розподілу господарств по врожайності зернових культур знайти середній показник врожайності, використовуючи у розрахунках формули структурних середніх моди і медіани.
Таблиця 4.5. Вихідні і розрахункові дані для обчислення моди і медіани
Урожайність, ц/га (хi) |
Кількість господарств, частота (ni) |
Нагромад-жена сума частот, (ni) |
Урожай-ність, ц/га (хi) |
Кількість господарств, частота (ni) |
Нагромаджена сума частот (ni) |
1620 |
3 |
3 |
3236 |
7 |
49 |
2024 |
6 |
9 |
3640 |
5 |
54 |
2428 |
17 |
26 |
4044 |
3 |
57 |
2832 |
16 |
42 |
Всього |
57 |
|
У складеному інтервальному варіаційному ряду за врожайністю зернових культур (табл. 4.5) модальним інтервалом із найбільшим числом варіант (17) є третій інтервал з рівнем урожайності від 24 до 28 ц/га. Отже, мода повинна знаходитися в середині цього інтервалу. Підставивши у наведену вище формулу необхідні значення, одержимо:
(ц /га).
Обчислимо медіану за даними цього ж інтервального ряду розподілу. Як уже було сказано, медіана (Ме) в статистичному ряду розподілу посідає центральне місце. Для її знаходження необхідно мати підсумок частот. Медіана знаходиться в тому інтервалі, нагромаджена сума частот якого дорівнює або більша за напівсуму частот ряду (57 : 2). У розглянутому прикладі таким інтервалом є четвертий, з рівнем урожайності від 28 до 32 ц/га, оскільки тут сума частот становить 42. Підставивши відповідні значення в формулу медіани (Ме), одержимо:
ц/га.
Наведена формула розрахунку медіани дає наближене значення середньої величини інтервального ряду розподілу, оскільки вона грунтується на припущенні, що всередині медіанного інтервалу значення ознаки зростає строго рівномірно, що практично зустрічається досить рідко (винятково). Враховуючи особливість зміни ознаки всередині медіанного інтервалу, як правило, наближену до рівномірної, розглядуваний прийом розрахунку медіани забезпечує вірогідність результатів розрахунку.
Невипадково моду і медіану називають структурними середніми. На відміну від об'ємних середніх, вони не пов'язані з підсумковою величиною ознаки, хоча і відображують конкретні характерні її значення. Так, начальний рівень середньої заробітної плати працівника не пов'язаний певним кількісним відношенням з фондом заробітної плати. Знаючи моду і чисельність працівників, не можна розраховувати розмір фонду заробітної плати. Так само не можна розраховувати валовий збір зерна або валовий надій молока, якщо дані врожайності чи продуктивності корів розраховані за модою або медіаною.
Отже, вказана методична особливість визначення таких видів середньої обмежує в певній мірі їх практичне використання. Але як мода, так і медіана використовуються в статистиці для характеристики деяких типових розмірів соціально-економічних явищ у випадках, коли останні не можуть бути зображені за допомогою середніх величин. Так, при визначенні рівня ринкових цін на сільськогосподарську продукцію реєструють не середню ціну на ту чи іншу продукцію, а модальну, тобто ту, яка найчастіше зустрічається на обстежуваному ринку в період найбільш пожвавленої торгівлі. Зрозуміло, що точніший результат дав би розрахунок середньої зваженої ціни, але одержати точні дані для цього виду середньої (тобто кількість проданої продукції і її ціну) у зазначених умовах неможливо.
Безумовно, основною характеристикою центра розподілу є середня арифметична, адже базою її розрахунку є вся інформація про досліджуване явище. Але інколи з практичних міркувань середню арифметичну замінюють модальним значенням або медіаною. Наведемо ще один приклад: при одержанні проб на якість продукції зручніше користуватися медіаною, адже для її визначення у ранжированному ряду не потрібно спеціальних розрахунків. У рядах розподілу з відкритими інтервалами також вважається доцільним використання моди і медіани. Моду використовують при вивченні попиту населення на продукти харчування, одяг, взуття тощо. Практичний інтерес тут являє визначення модального розміру, тобто розміру явища, яке зустрічається найчастіше (у даному прикладі найбільший попит).
3. МЕТОДОЛОГІЧНІ ПРИНЦИПИ ОБЧИСЛЕННЯ СЕРЕДНІХ ВЕЛИЧИН, УМОВИ ЇХ ТИПОВОСТІ
Середня вважається науково обгрунтованою, якщо методологічні принципи її обчислення відповідають певним вимогам. Розглянемо найголовніші з них.
1. Розрахунок середніх величин повинен здійснюватися за однорідними, одноякісними явищами. Вимога однорідності усереднюваних ознак вважається найважливішою умовою типовості середніх. Тобто, останні можуть давати вірну характеристику статистичній сукупності лише у випадку, якщо одиниці, які входять у склад цієї сукупності, мало відрізняються одна від одної і якщо відсутня тенденція до концентрації значень ознак у чітко відокремлені групи. Отже, сукупність ознак повинна бути однорідною. А такою вона може бути у разі, якщо її частини підпадають під дію одних і тих самих причин. Середні, які застосовуються для характеристики однорідних сукупностей, являють собою наближену міру систематичного елемента статистичної сукупності, а відхилення значень окремих одиниць від середньої виникає під дією побічних причин. Якщо не враховувати умову, що середня є мірою систематичного елемента лише для однорідної сукупності, розрахунки матимуть суб'єктивний характер. Існує досить поширена помилка визначення середньої для неоднорідної сукупності, коли середня розглядається як міра дії основних причин, а відхилення від неї як випадкові. Це затушовує дійсну структуру статистичної сукупності і зумовлює неможливість викриття причин, котрі її викривляють (деформують). Середня, обчислена для різнорідних елементів, втрачає свій реальний зміст, перетворюється у фікцію.
Якщо досліджувана сукупність містить в собі відносно однорідні частини і групи, у таких випадках доцільно обчислювати загальну середню і групові середні, адже названі види середніх відображують вплив різних умов. Так, загальна середня відображує загальні риси досліджуваного явища, а групові середні дають узагальнюючу характеристику рівню явища в більш конкретних умовах. Наприклад, середня собівартість виробництва центнера яловичини в господарствах району (загальна середня) відображує загальний рівень вартості виробництва одиниці продукції в районі, а середня собівартість виробництва центнера яловичини у фермерських господарствах (групова середня) вартість виробництва даної продукції в умовах конкретної форми господарювання.
Отже, метод середніх повинен органічно поєднуватися з методом групувань. Таке поєднання має вирішальне значення статистичних і статистико-економічних дослідженнях. Загальні середні для однорідних суспільних явищ повинні доповнюватися середніми і індивідуальними величинами, які характеризують частини цілого (групи), прогресивне, відстаюче, окремі регіони тощо.
Аргументується ця умова тим, що оскільки в середній погашаються (вирівнюються) існуючі індивідуальні особливості, то за допомогою загальної середньої не можна виявити кращих досягнень чи відставань і т. ін. Тому в практичних чи наукових розрахунках не обмежуються загальними середніми, а доповнюють їх груповими.
Таким чином, середні у статистиці лише тоді сприяють науковому аналізу, коли вони характеризують якісно однорідні сукупності. Якісна однорідність соціально-економічних явищ (а звідси і типовість середніх) встановлюється на підставі всебічного теоретичного аналізу їх суті, розуміння економічного змісту і знання природи цих явищ. Грунтуючись на теоретичних концепціях, статистика виділяє якісно однорідні сукупності за допомогою методу статистичних групувань.
Розглядаючи питання типовості середніх, зумовлених однорідністю статистичної сукупності, слід пам'ятати, що серед усереднюваних ознак можуть зустрічатися і досить відмінні одна від одної. Це цілком виправдано. адже в процесі розвитку явищ виникає нове і відмирає старе. Значення ознак представників нового і старого досить відмінні від середніх рівнів. Такі відмінності цікавлять статистика не менше (а інколи і більше), ніж середні величини ознак, адже зрозуміло, що все нове, прогресивне у суспільному житті знаходить підтримку, а виявлення старого, непрогресивного повинно спонукати на подолання його залишків досліджуваному явищі. Тому при поглибленому аналізі соціально-економічних явищ не обмежуються розрахунком лише середніх, а доповнюють їх описуванням окремих явищ, які мають значну варіацію щодо цієї середньої.
2. Наукова обгрунтованість середніх вимагає правильного вибору явищ, тобто одиниць сукупності, за якими розраховується середній розмір ознаки.
Пояснимо прояв даної вимоги при розгляді конкретних явищ.
Із логічної формули середньої випливає, що обчислюється вона як співвідношення двох показників, тобто як відношення обсягу ознаки до чисельності одиниць, які наділені цією ознакою. Виходячи з цього принципу, обчислення середнього річного надою молока від однієї корови треба було б розрахувати відношенням валового надою за рік до чисельності поголів'я дійних корів. У статистичній практиці дана середня величина розраховується щодо не дійних, а фуражних корів, а останні, як відомо, не всі дають продукцію. Такий спосіб розрахунку середньої зумовлює стимул до зменшення чисельності недійних корів у господарствах. Аналогічного принципу дотримується статистика при обчисленні показника середньої урожайності. При його обчисленні ділять валовий збір (урожай) не на збиральну чи фактично зібрану площу, а на весняну продуктивну площу. Остання включає площі, на яких навесні може статися загибель посівів чи вони залишаться незібраними.
3. Середня величина повинна бути обчислена за всім колом явищ, тобто спиратися на всі одиниці спостереження, інакше вона не буде дійсною характеристикою всього розподілу. У випадку, коли середня обчислюється не по всій сукупності, а лише по її частині, остання повинна репрезентувати сукупність, тобто бути представлена типовою її частиною. Вважається, що типовість середньої може бути забезпечена при чисельності одиниць спостереження не менше як 25-30. Надійну середню можна одержати і при меншій статистичній сукупності, але в такому разі досліджувані ознаки повинні відрізнятися одна від одної незначно. Тобто мінімальна кількість одиниць спостереження для одержання типової середньої у кожному випадку встановлюється, виходячи з конкретних умов. Але така кількість одиниць повинна бути достатньою, щоб випадкові відмінності ознак не мали свого прояву і не сприяли формуванню суб'єктивної середньої. Якщо коло явиш достатнє, питання про типовість середньої не виникає, адже в ній знаходять своє відображення всі значення досліджуваних ознак.
Таким чином, середню слід розраховувати на базі достатньо великої кількості одиниць спостереження. Лише у такому випадку взаемовиключаються випадкові, індивідуальні відмінності між досліджуваними ознаками. Вони не справляють істотного впливу на середню. Якщо остання буде розрахована для невеликої чисельності одиниць сукупності, в ній знайдуть відображення індивідуальні особливості ознак, тобто випадкові моменти, не характерні для сукупності в цілому. Така середня вважається нетиповою, ненадійною. Зі збільшенням обсягу сукупності підвищується ймовірність одержання типової середньої, зростає її пізнавальне значення. В основі такої залежності знаходить свій прояв дія закону великих чисел.
РОЗРАХУНКОВА РОБОТА
Завдання 1. За незгрупованими даними табл.4.6 обчислити середню арифметичну, моду та медіану.
Таблиця 4.6.Дані про кількість автомобілів по підприємствах
Номер підприємства |
1 |
2 |
3 |
4 |
5 |
6 |
Кількість автомобілів,шт. |
8 |
15 |
12 |
11 |
10 |
12 |
Виконання завдання 1.
С ередня арифметична проста обчислюється за формулою 4.1:
(4.1)
Мода це значення ознаки, яке найчастіше зустрічається в ряду чисел. В нашому прикладі це буде число 12 автомобілів (зустрічається 2 рази).
Для визначення медіани спочатку необхідно упорядкувати ряд чисел за зростанням (кількість автомобілів): 8, 10, 11, 12, 12, 15. Медіана знаходиться в центрі упорядкованого ряду чисел. В нашому прикладі центральну позицію займає пара чисел – 11 та 12. Отже, медіаною буде середнє значення з цих двох чисел, тобто 11,5.
Завдання 2. Обчислити середню арифметичну способом моментів на основі дискретного ряду розподілу господарств за кількістю працівників (див. результати виконання завдання 2 теми 3)
Таблиця 4.7. Розподіл господарств за кількістю працівників
Кількість працівників (Х) |
Кількість господарств (n) |
10 |
3 |
11 |
3 |
12 |
3 |
13 |
2 |
14 |
4 |
15 |
5 |
16 |
3 |
17 |
2 |
18 |
3 |
25 |
1 |
26 |
1 |
Разом |
30 |
Виконання завдання 2.
Беремо в таблиці 4.7 число, наприклад, Х0 = 15 (близьке до середини упорядкованого ряду значень варіанти) за умовний нуль і число і = 2 за спільний дільник. Обчислюємо відхилення, які множимо на частоти (n – кількість господарств). результати обчислень наведені в табл. 4.8.
Таблиця 4.8. Обчислення середньої арифметичної способом моментів
Х-15 |
(Х-15)/2 |
(х-15)/2*n |
-6 |
-3 |
-9 |
-5 |
-2,5 |
-7,5 |
-4 |
-2 |
-6 |
-3 |
-1,5 |
-3 |
-2 |
-1 |
-4 |
-1 |
-0,5 |
-2,5 |
0 |
0 |
0 |
1 |
0,5 |
1 |
2 |
1 |
3 |
9 |
4,5 |
4,5 |
10 |
5 |
5 |
Сума |
Х |
-18,5 |
Перший умовний момент складає Р = -18,5 :30 = -0,617, а середня арифметична = (-0,617) * 2 + 16 = 14,766 або округлено 15 (працівників).
Завдання 3. За згрупованими даними табл.4.9 обчислити середню арифметичну, моду та медіану.
Таблиця 4.9. Розподіл підприємств за рівнем
фондоозброєності праці
Група підприємств за фондоозброєністю праці,тис.грн. (X) |
Кількість підприємств (f) |
75-80 |
3 |
80-85 |
5 |
85-90 |
8 |
90-95 |
6 |
95-100 |
3 |
Разом |
25 |
Виконання завдання 3.
Середню арифметичну для згрупованих даних обчислюють за зваженою фомулою (4.2):
(4.2)
Замінивши інтервали значень ознаки центрами інтервалів покажемо допоміжні обчислення в табл.4.10.
Таблиця 4.10. Розрахунки до обчислення середньої арифметичної зваженої
-
Х
f
Xf
77.5
3
232,5
82.5
5
412,5
87.5
8
700
92.5
6
555
97.5
3
292,5
Сума
25
2192,5
Використовуючи дані табл. 4.3, маємо:
Як видно з таблиці 4.9, мода знаходиться в інтервалі “85-90” (найбільша частота –8). Конкретне значення моди в інтервалі наближено обчислюють за формулою 4.3.
(4.3)
Отже, мода дорівнює: 85+5((8-5) : (16-5-6)) = 88 тис.грн.
Медіана належить підприємству, яке знаходиться в центрі ряду розподілу.Поділивши загальну кількість підприємств, знаходимо номер підприємства, яке знаходиться в центрі : 25 : 2 = 12,5, тобто номер 13.
Далі нагромаджуючи частоти ряду розподілу встановлюємо медіанний інтервал:
сума частот двох перших інтервалів складає : 3+5=8. Це менше ніж 13. сума частот трьох перших інтервалів складає : 3+5+8=16. Це більше числа 13. Таким чином, медіана знаходиться в третьому інтервалі “85-90”.
Медіану в інтервалі наближено обчислюють за формулою 4.4.
(4.4)
Отже, медіана дорівнює: 85+5((0,5*25-3-5) : 8)) = 87,8 тис.грн.
ЗАВДАННЯ ДЛЯ САМОСТІЙНОЇ РОБОТИ
Завдання 1. За даними табл. 4.11 обчислити середню арифметичну (звичайним способом та способом моментів), моду і медіану для кожної з ознак ( Х та У).
Таблиця 3.11 Дані про урожайність зернових та внесення органічних добрив
Номер підприємства |
Внесено органічних добрив на 1 га, т(Х) |
Урожайність зернових культур, ц/га.(У) |
1 |
18 |
25 |
2 |
22 |
20 |
3 |
25 |
30 |
4 |
15 |
20 |
5 |
19 |
28 |
6 |
16 |
22 |
7 |
20 |
31 |
8 |
20 |
20 |
9 |
17 |
20 |
10 |
14 |
25 |
11 |
0 |
30 |
12 |
18 |
20 |
13 |
19 |
25 |
14 |
19 |
29 |
15 |
17 |
22 |
16 |
26 |
29 |
17 |
14 |
27 |
18 |
25 |
20 |
19 |
21 |
28 |
20 |
15 |
26 |
21 |
15 |
24 |
22 |
22 |
25 |
23 |
22 |
21 |
24 |
25 |
20 |
25 |
17 |
20 |
Завдання 2. Обчислити середню арифметичну (звичайним способом та способом моментів), моду і медіану за даними табл.4.12.
Таблиця 4.12. Розподіл господарств за кількістю автомобілів
Кількість автомобілів (Х) |
Кількість господарств (n) |
8 |
4 |
9 |
4 |
10 |
4 |
13 |
3 |
14 |
4 |
15 |
6 |
16 |
4 |
17 |
2 |
18 |
3 |
20 |
1 |
22 |
1 |
Завдання 3. За даними табл.4.13 обчислити середню арифметичну (звичайним способом і способом моментів), моду та медіану.
Таблиця 4.13. Розподіл господарств за рівнем
урожайності картоплі
Група господарств за урожайністю картоплі, ц/га. |
Кількість господарств |
70-80 |
3 |
80-90 |
5 |
90-100 |
8 |
100-110 |
11 |
110-120 |
3 |
Разом |
30 |